clo132 Posté(e) le 1 novembre 2014 Signaler Posté(e) le 1 novembre 2014 Bonjour à tous, J'ai un exercice à faire sur les continuités, le voici rédiger, merci de me donner quelques conseils et de me corriger s'il y a des erreurs. La fonction f est définie par f(x)=x^3 +2x-5. On se propose de déterminer le nombre d'antécédents de 0 par f. 1a) Calculez f'(x) et précisez son signe. f(x)= x^3+2x-5 f'(x)=3x² +2 f'(x) >0 car 3x²> 0 car un carré est toujours positif, auquel on ajoute 2, le signe reste positif. b) Quel est le sens de variation de f ? J'ai fait un tableau de variation et un tableau de signe pour f'(x), qui est positif "+" et f est croissant sur ]-infini;+infini[ 2a)Trouvez deux nombres a et b tels que f(a) <0 et f(b) >0. Je pense qu'il faut prendre f(1)=-2 et f(2)= 7, je justifie avec la table des valeurs de la calculatrice. Donc a=1 et b=2. 2b) Montrez que dans l'intervalle [a;b], 0 ne possède qu'un seul antécédent. On sait que f est continue sur l'intervalle [1;2], et que 0 est un réél compris entre f(1) et f(2) car -2 et 7 sont de signes contraires, donc l'équation f(x)=0 a au moins une solution dans l'intervalle [1;2]donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, 0 n'a qu'un seul antécédent sur cet intervalle. De plus, on sait que si f est strictement croissante sur l'intervalle [1;2], cette solution est unique. Donc 0 n' a qu'un seul antécédent dans l'intervalle [1;2]. 2c) En utilisant le sens de variation de f, montrez que 0 n'a pas d'autre antécédent. Je réalise le tableau de variation et de signe sur [1;2]. Comme f(x) est strictement croissante et monotone sur ]-infini;+infini[, 0 n' a qu'un seul antécédent sur l'intervalle [1;2]. f(1) et f(2) sont de signes contraires, la fonction étant croissante, 0 n'apparait qu'un fois sur la table des valeurs. 0 n'a qu'un seul antécédent sur l'intervalle ]-infini;+infini[.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 1 novembre 2014 E-Bahut Signaler Posté(e) le 1 novembre 2014 2b) Montrez que dans l'intervalle [a;b], 0 ne possède qu'un seul antécédent. On sait que f est continue sur l'intervalle [1;2], et que 0 est un réél compris entre f(1) et f(2) car -2 et 7 sont de signes contraires, donc l'équation f(x)=0 a au moins une solution dans l'intervalle [1;2]donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, 0 n'a qu'un seul antécédent sur cet intervalle a au moins un antécédent par f sur cet intervalle. De plus, on sait que si f est strictement croissante sur l'intervalle [1;2], cette solution est unique (mériterait d'être plus détaillé). Donc 0 n' a qu'un seul antécédent dans l'intervalle [1;2]. J'aurais dit : La fonction f est définie sur R et 1 et 2 sont des éléments de R. f(x) est continue sur R alors : pour tout réel k compris entre f(1)=-2 et f(2)=7 , il existe au moins un réel x0 compris entre 1 et 2 tel que : f(x0) = k et en particulier pour le réel x0=0 La fonction f(x) étant croissante sur R - tout élément a de [1,k[ est tel que f(a)<f(0) - tout élément b de ]k; 2[ est tel que f(b)>f(0) ce qui montre que la solution f(0)=k est unique sur [1,2] 2c) En utilisant le sens de variation de f, montrez que 0 n'a pas d'autre antécédent. Je réalise le tableau de variation et de signe sur [1;2]. Comme f(x) est strictement croissante et monotone sur ]-infini;+infini[, 0 n' a qu'un seul antécédent sur l'intervalle [1;2]. f(1) et f(2) sont de signes contraires, la fonction étant croissante, 0 n'apparait qu'un fois sur la table des valeurs. 0 n'a qu'un seul antécédent sur l'intervalle ]-infini;+infini[. J'aurais plutôt dit : f(x) est continue sur R alors : pour tout réel k compris entre f(-∞)=-∞ et f (∞)=∞ , il existe au moins un réel x0 compris entre -∞ et ∞ tel que : f(x0) = k et en particulier pour x0=0 La fonction f(x) étant croissante sur R - tout élément a de ]-∞,k[ est tel que f(a)<f(0) - tout élément b de ]k; ∞[ est tel que f(b)>f(0) ce qui montre que la solution f(0)=k est unique sur R
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