Récurrence

[sofiia]

Boujour, alors voilà je suis en Terminale S et l'on vient de commencer le chapitre sur la récurrence mais il y a une étape qui me bloque.

On suppose que Un= 2ⁿ -1

Un+1= 2Un + 1

Uo = 0

Un= 2 ⁿ - 1

Initialisation

n=0

d'une part Uo=0

d'autre part , 2 ⁰ - 1 = 1-1 = 0

donc Uo= 2⁰ -1

Hérédité

Supposons que la propriété "Un = 2ⁿ - 1 " est vraie à un certain rang p

//P(p) = P (p+1)

on sait que Up = 2^p - 1

On veut prouver Up+1 = 2 ^p+1 -1

Up+1 = 2Up + 1

= 2* (2 ^p -1 ) +1

Et c'est la ou je comprend PAS

= 2 ^p+1 -2 +1

= 2 ^p+1 -1

Conclusion

la propriété est vraie au rang n=0

elle se transmet par hérédité du rang n au rang n+1

elle est vraie pour tout n E IN

Comment est apparu le 2^p+1. Je veux bien que le -2 soit apparu par un dévellopement en faisant 2 * -1 = -2 mais le 2^p+1 je comprend pas.

Merci d'avance pour votre aide.

[Papy BERNIE]

Bonjour,

si j'ai bien lu , tu ne comprends pas comment l'on passe de :

2* (2 ^p -1 ) +1

à :

2 ^p+1 -2 +1

C'est bien ça ton souci ?

On développe :

2* (2 ^p -1 ) +1

ce qui donne : 2*2^p-2*1+1

Mais 2*2^p=2¹*2^p=2^p+1

OK ?

Donc on arrive bien à :

2 ^p+1 -2 +1=2^p+1-1