Variations De Fonction

[Espana]

Bonjour, j'ai un exercice à faire pour lundi et je n'arrive pas du tout à le résoudre...

On se propose de démontrer que la fonction f définie sur par f(x)=x²-2x est strictement croissante sur [1;+(infini)[ et strictement décroissante sur ]-(infini);1]

On considère deux réels a et b tels que a est strictement supérieur à b

1)Montrer que f(b)-f(a)=(b-a)(a+b-2).

2)Déterminer alors le signe de f(b)-f(a) en fonction des valeurs de a et b;

3)En déduire les variations de la fonction f.

Je suis déjà bloqué au 1)

f(b)-f(a)=b^2-2b-(a^2-2a)=b^2-2b-a^2+2a=b^2-a^2+2a-2b et là je suis bloqué, j'ai fais les identités remarquables pour b carré et a carré mais après je trouve pas ce que je veux...

Pouvez vous m'aider s'il vous plait?

[Papy BERNIE]

Bonjour,

pour le carré , tu as un petit "2" sur ton clavier en haut à gauche ou le X² ici en haut du cadre où tu écris. OK ?

f(b)-f(a)=b^2-2b-(a^2-2a)= b²-2b-a²+2a=b²-a² -2(b-a)

Mais a²-b²=(a+b)(a-b) donc :

f(b)-f(a)=(b+a)(b-a)-2(b-a)

On met (b-a) en facteur :

f(b)-f(a)=(b-a)(b+a-2) ou :

f(b)-f(a)=(b-a)(a+b-2)

Je te laisse un peu de temps jusque vers 15 h pour proposer la suite.

[Espana]

Merci beaucoup!

Par contre je n'ai pas compris comment vous passez de b²-2b-a²+2a à b²-a²-2(b-a) car on a -2 et 2 et non pas -2 et -2 pour faire la factorisation non ?

[Espana]

Je mets ce que j'ai trouvé:

Sur l'intervalle [1;+(infini)[ :

a<b => b-a>0

1 < ou = a<b => a+b-2

Le produit est positif donc la fonction est croissante sur [1;+(infini)[

Sur l'intervalle ]-(infini);1] :

a<b => b-a<0 OU b-a>0

a<b< ou = 1 => a+b-2 <0

et là je suis bloqué... puis je ne sais pas si ma méthode est bonne.

Il fallait peut-être faire en général et ne pas s'occuper des intervalles?

[Papy BERNIE]

je n'ai pas compris comment vous passez de b²-2b-a²+2a à b²-a²-2(b-a)

[Papy BERNIE]

Sur ]-inf;1] :

On a toujours le facteur (b-a) > 0.

Comme a < b et b<=1 alors a < 1 , donc a+b<2 donc :

(a+b-2) < 0.

Donc le produit (b-a)(a+b-2) est négatif sur cet intervalle car les 2 facteurs sont de signe contraire.

Donc sur ]-inf;1] f(b) - f(a)< 0.

3)

Sur [1;+inf[ :

On a vu que sur cet intervalle : f(b)-f(a) > 0 soit f(a) < f(b).

On est parti de a < b pour arriver à f(a) < f(b).

Or :

f est strictement croissante si pour a < b dans un intervalle donné on a f(a) < f(b) .

Donc sur [1;+inf[ , f(x) est croissante.

Sur ]-inf;1] :

On a vu que sur cet intervalle : f(b)-f(a) < 0 soit f(a)> f(b).

On est parti de a < b pour arriver à f(a) > f(b).

Or :

f est strictement décroissante si pour a < b dans un intervalle donné on a f(a) > f(b) .

Donc sur ]-inf;1] , f(x) est décroissante.

[Espana]

Merci beaucoup de l'aide apporté j'apprécie énormément grâce à vous j'ai vraiment tout compris, merci encore de vous donner tant de mal pour nous aider!

[Papy BERNIE]

Mais je t'en prie et bonne continuation à toi.