flavien23 Posté(e) le 6 janvier 2014 Signaler Posté(e) le 6 janvier 2014 bonjour, je n'arrive pas à résoudre ce problème. j'ai fait la question 1. je bloque sur la question 2 et je ne comprend pas la question 3. pourriez vous m'aider? merci le probleme est joint et les calculs réalisés par le logiciel de calcul formel est joint en agrandi
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 6 janvier 2014 E-Bahut Signaler Posté(e) le 6 janvier 2014 1------------- f(x)=ln(x^3+1)/2 f'(x)=3*x^2/(2*(x^3+1)) > sur [0,1] donc fonction croissante sur cet intervalle x………0………………….1 f(x)……0……..crois………ln(2) 2a------------- u0=1≥0 u1=0.347 ≥0 u2=0.0204 ≥0 …….. on suppose un≥0 un+1=ln(un^3+1)/2 comme un>0 ==>un^3+1==> ln(un^3+1)/2 >0 la proposition étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n ---------------- u0=1 u1=0.347 ≤u0 u2=0.0204 ≤u1 …….. on suppose un≤un-1 un+1=ln(un^3+1)/2 un+1-un=ln(un^3+1)/2-ln(un-1^3+1)/2=ln((un^3+1)/un-1^3+1)) comme 0≤un≤un-1 ==> 0≤un^3≤un-1^3 ==> 0≤un^3+1≤un-1^3+1 ==> (un^3+1)/un-1^3+1)≤1 ==> ln((un^3+1)/un-1^3+1))≤0 ==> un+1-un≤0 n la proposition étant héréditaire est vérifiée pour toute valeur de n et la suite un est décroissante ---------------- 2b------------- La suite un étant bornée et décroissante est convergente et tend vers sa borne inférieure et lorsque n -> ∞ alors un ->0. 3a------------- g(x)=x-f(x) -------- La quatrième ligne de la feuille calcul correspond au calcul formel de la dérivée seconde g''(x) de la fonction g(x)=x-ln(x^3+1)/2. La cinquième ligne de la feuille calcul correspond au calcul de la valeur du nombre dérivé g'(1). 3b------------- g''(x)=3*(x^3-2)/(2*(x^3+1)^2) sur l'intervalle [0,1 ] g''(x)<0 ce qui signifie que g'(x) est décroissante sur cet intervalle g'(x)=1-3*x^2/(2*(x^3+1)) g'(0)=1 et g'(1)=1/4 et g'(x)<0 font que g'(x) est >0 sur l'intervalle [0,1] et donc g(x) est croissante sur cet intervalle. -------- g(0)=0 et g(1)= 1-ln(2)/2>0 Le graphe de g(x) coupe donc l'axes des x qu'en une valeur unique dont l'abscisse est égale à 0 et qui est solution de g(x)=0 sur l'intervalle [0,1] ------- Lorsque n-> ∞ alors f(un) -> un+1 ==> lim un+1=lim un=lim f(un) et comme lim g(un)=lim (un-f(un)) ->0 on en déduit que > un->0 lorsque n->∞
flavien23 Posté(e) le 10 janvier 2014 Auteur Signaler Posté(e) le 10 janvier 2014 merci beaucoup de votre réponse.
idem0904 Posté(e) le 6 février 2014 Signaler Posté(e) le 6 février 2014 Bonjour, j'ai un exercice semblable à faire et je ne comprend pas comme vous êtes passé de f(x) à f '(x) à la question 1, j'ai essayé de différentes manières de retomber sur votre calcul mais en vain. Pouvez-vous m'expliquer rapidement? merci d'avance.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 6 février 2014 E-Bahut Signaler Posté(e) le 6 février 2014 dérivée d'une fonction composée ln(u)'=u'/u
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