Dm Sur Les Flocons De Neiges

Maady · le 5 janvier 2014

Bonsoir,

Notons Cn le polygone obtenu à la n^ième étape, Pn le périmètre de Cn, et An l'aire de Cn

Co est un triangle équilatéral

1° Construire Co, C1 et C2

2° Etudier la limite de chacune des suites (An) et (Pn)

3° Avec a=1, expliquer pourquoi il existe une infinité de polygone dont l'aire est inférieur à 2 et dont le périmètre est supérieur à 10⁷

Est ce que ce serait possible d'avoir une piste pour les questions 2 et 3 ?

J'ai pensé à trouver Pn et An en fonction de n mais je n'y arrive pas ...

Merci d'avance !

pzorba75 · le 5 janvier 2014

Il y a une infinité d'exercices de ce type portant sur le périmètre et l'aire d'un polygone, tous se ressemblent. Souvent le périmètre tend vers une longueur infinie (suite géométrique de raison supérieure à 1 et l'aire vers une limite finie, suite géométrique de raison inférieure à 1. (voir flocons de Von Koch).

Je ne peux t'aider que si tu fournis l'énoncé complet. C'est un minimum.

Maady · le 5 janvier 2014

Oui j'ai vu qu'il y en avait pleins traitant sur les flocons de Von Koch mais je ne voulais piocher les réponses sans comprendre les étapes à suivre .

Début de l'énoncé : "Considérons un triangle équilatéral dont la longueur du côté a. Sur chaque côté considérons les deux points qui partagent ce côté en trois parties de même longueur. Sur chaque côté on obtient ainsi trois segments, sur le segment central construisons alors vers l'extérieur un triangle équilatéral et supprimons ce segment central. On obtient un polygone à douze côtés"

Désolée je pensais qu'il y en aurait pas besoin

pzorba75 · le 5 janvier 2014

Tel que tu l'as posté, l'énoncé n'est pas complet.

Maady · le 5 janvier 2014

Enoncé complet

Considérons un triangle équilatéral dont la longueur du côté a. Sur chaque côté considérons les deux points qui partagent ce côté en trois parties de même longueur. Sur chaque côté on obtient ainsi trois segments, sur le segment central construisons alors vers l'extérieur un triangle équilatéral et supprimons ce segment central. On obtient un polygone à douze côtés

Notons Cn le polygone obtenu à la n^ième étape, Pn le périmètre de Cn, et An l'aire de Cn

Co est un triangle équilatéral

1° Construire Co, C1 et C2

2° Etudier la limite de chacune des suites (An) et (Pn)

3° Avec a=1, expliquer pourquoi il existe une infinité de polygone dont l'aire est inférieur à 2 et dont le périmètre est supérieur à 10⁷

pzorba75 · le 5 janvier 2014

1)

Sans difficulté

2) l est la longueur du côté du premier triangle

À chaque itération, le segment est transformé en 4 segments, donc pour tout n on a c_n+1=4*c_n. c_n étant le nombre de côtés à l'étape n (n entier naturel). Avec c₀=3 on a c_n=3*4ⁿ

Pour le périmètre du polygone :

À chaque étape, le segment est transformé en un segment de longueur 1/3, soit l_n+1=1/3*l_n. l_n étant la longueur d'une arête à l'étape n.

(l) est une suite géométrique de raison 1/3. donc l_n=l*1/3^n

Pour le périmètre, il suffit de faire le produit et pour l'aire à l'étape n+1 il faut ajouter à l'aire de l'étape n, n*1/2*l_n^2*sqrt(3)/2 correspondant aux petits triangles supplémentaires.

Avec ces premiers éléments tu dois pouvoir te mettre au travail et proposer ta rédaction.

Ce genre d'étude demande beaucoup de soin dans la rédaction et de la rigueur dans l'application des limites de suites géométriques et des termes consécutifs d'une suite..

Je pourrai poster une correction d"taillée demain soir, pas avant.

Au travail.

Maady · le 6 janvier 2014

Je vous remercie ! Je dois le rendre pour demain et je pense avoir compris la 2 et la 3. Par contre j'ai du mal pour la rédaction du 3

pzorba75 · le 7 janvier 2014

Voici un corrigé parmi d'autres sur ces flocons

/applications/core/interface/file/attachment.php?id=15970">Exo-122-p155-Flocon-de-Von-Koch.pdf

Exo-122-p155-Flocon-de-Von-Koch.pdf

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