Géométrie Dans L'espace

[stella96]

Bonjour,

ABCDEFGH est un cube d'arête 1. I et J sont les milieux respectifs des arêtes [AB] et [HG]. K est le centre de la face BCGF.

1)Démontrez que le quadrilatère IFJD est un losange d'aire (racine de 6)/2.

Je sais que pour qu'il soit losange il faut que les côtés soit de même longueur et qu'ils soient parallèles deux à deux, donc IJ=BG= 2 mais je ne sais pas comment calculer les autres côtés donc je n'arrive pas à démontrer que c'est un losange.

Je sais de plus que A= (IJ*DF)/2 mais comme je ne trouve pas DF, je ne sais pas comment démontrer que l'aire est égal à ( 6 )/2

2) Démontrez que la droite (IJ) est orthogonale à la droite (FC)

3) Déduisez-en que la droite (IJ) est perpendiculaire au plan (ECF) puis que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (EK).

Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ? J'attends vos aides..

Merci d'avance!

[elp]

1)

il suffit de montrer que les 4 côtés sont de même longueur.

Ca se fait grace au th de Pythagore.

Pour l'aire: c'est bien (IJ*FD)/2

IJ=BG=rac(2)

FDH est rectangle en H.

FH=rac(2)

DH=1

FD²=FH²+HD²=2+1=3

FD=rac(3)

L'aire est rac(3)*rac(2)/2=rac(6)/2

2)

les diagonales d'un losange sont toujours perpendiculaires donc (IJ) perp à (FD)

3)

(IJ)perp à(FD)

(IJ)//(BG)

(BG) perp à (FC) car les diag du carré BCGF sont perp.

donc (IJ) perp à (FC)

(IJ) est donc perp à 2 droites concourantes du plan FDC qui est aussi le plan EFC donc est perp à ce plan

K est le milieu de FC dc est ds le plan EFC

(EK) est une droite du plan EFC

(IJ) droite perp au plan efc est donc orthogonale à toute droite de ce plan donc en particulier à (EK)

NB: j'ai imaginé ta figure : E étant sous A, F sous B, G sous C et H sous D

[stella96]

Merci !