Fermat Spé

[BagMa]

Bonjour à tous

Alors cela fait quelques jours que j'essaye de résoudre un problème donné en DM par notre prof de math mais après avoir fait la moitié je bloque totalement ... J'ai pourtant cherché et recherché, tout essayer mais je ne vois vraiment pas. Notre prof nous avait prévu que cela allée être un casse-tête

Je vous explique : Alors tous le 1 est fait , le 2 j'ai fait que le a et la première question du b... J'arrive plus à partir de où il faut en déduire la conséquence et le c non plus

J'espère ainsi que vous pourriez m'aider

Exercie : Tous d'abord [TEX]F_n = 2^2^n+1[/TEX] C'est bien 2 puissance 2 puissance n

Alors le 1 est fait.

2/ a/ Démontrer que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2, [TEX]F_{n}(F_{n-1}-1)^2 +1[/TEX]

et démontrer la conjecture par récurrence. Cette question c'est bon

b/ -Démontrer que pour tout nombre entier naturel > ou égale à 2, [TEX]F_{n} -2 = F_{n-1}(F_{n-1} -2)[/TEX]

Sa c'est fait

- En déduire que pour tout nombre entier naturel n> ou égale à 2, [TEX]F_{n} = F0*F1*...*F_{n-1}+2[/TEX] c'est à dire [TEX]F_{n} = \Pi_{i=0}^{n-1} F_{i} +2[/TEX] La je galère

c/ Le théorème de Goldbach affirme que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.

-Expliquer pourquoi pour tous nombre entiers naturels n et m tel que n>m ,

[TEX]F_{n} = (\Pi_{i=0}^{m-1} F_{i})(\Pi_{i=m+1}^{n-1} F_{i}) F_{m} +2[/TEX]

- Démontrer qu'alors tout diviseur commun à [TEX]F_{n)[/TEX] et [TEX]F_{m}[/TEX] est aussi un diviseur de 2 et en déduire le théoréme de Goldbach.

Le c non plus

Merci à vous

[elp]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Fermat

[BagMa]

Merci mais cela m'avance pas beaucoup J'ai besoin d’explication

[elp]

Démonstrations

• 

En effet :

• 

Une récurrence et l'égalité suivante permet de calculer le premier produit :

La seconde égalité s'en déduit :

[elp]

supposons que a (autre que 1) divise à la fois Fm et Fn

Fm=F0F1F2....Fn.....F(m-1)+2

a divise F0F1F2...Fn..F(m-1) car il divise Fn

donc a divise la différence entre Fm et F0F1...Fn..F(m-1)

et cette différence est 2

a divise 2 donc a vaut 2 or la Fi sont impairs de par leur définition donc Fm et Fn sont 1ers entre eux.

NB

ds mon message précédent je t'ai copié la démo de Wikipédia.