mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 bonjour, Est-ce quelqu'un pourrais m'aider à décomposer en éléments simples cette fraction rationnelle: G(p) = (p+1) / (6p²+11p+1) ? Je ne sais pas comment la décomposer car le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. je souhaite par la suite calculé sa transformée inverse de Laplace pour obtenir G(t), mais ce qui me bloque c'est surtout la décomposition, je n'arrive pas à démarrer. merci d'avance.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 Bonjour, Tu dois factoriser le dénominateur pour trouver ses pôles. La factorisation donne deux polynômes du premier degré m(x),n(x). Pour décomposer en éléments simples, tu dois résoudre l'égalité G(p) = a/m(x) + b/n(x) Pour la transformée inverse, tu dois juste utiliser la linéarité de la transformée inverse de 1/(p+d) qui donne exp(-dt).
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 merci pour ta réponse, donc si je veux factoriser 6p²+11p+1, j'obtient 6 * (p- (11+rac(97)/12)) * (p+ (11+rac(97)/12)) ce qui donne G(p) = [ A1 / (p+6) ] + [ A2 / (p- (11+rac(97)/12) ] + [ A3 / (11+rac(97)/12) ] nous avons donc des pôles simples, il reste plus qu'à calculer A1, A2 et A3. est-ce juste ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 Ta factorisation est fausse et l'expression des pôles simples aussi.
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 pour factoriser 6p² +11p+1, j' ai résolut l'équation du second degré : 6p²+11p+1=0 ensuite j 'ai quelque chose sous la forme de a(x-x1)(x-x2) sachant que delta > 0 est ce la bonne méthode ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 pour factoriser 6p² +11p+1, j' ai résolut l'équation du second degré : 6p²+11p+1=0 ensuite j 'ai quelque chose sous la forme de a(x-x1)(x-x2) sachant que delta > 0 est ce la bonne méthode ?
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 G(p) = [ A1 / (6) ] + [ A2 / (p- (-11+rac(97)/12) ] + [ A3 / (p-(-11-rac(97)/12) ] et mantenant ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 G(p) = [ A1 / (6) ] + [ A2 / (p- (-11+rac(97)/12) ] + [ A3 / (p-(-11-rac(97)/12) ] et maintenant ?
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 merci pour ton aide, je trouve donc, A1 ~ -0.20 A2 ~ -0.11 A3 ~ 0.28 la T-1 L de g(p) g(t) = { -0.20*exp(-6t) - 0.11*exp(-11+rac(97)/12*t) + 0.28*exp(-11-rac(97)/12*t) } * h(t)
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 G(p) = [ A1 / (6) ] + [ A2 / (p- (-11+rac(97)/12) ] + [ A3 / (p-(-11-rac(97)/12) ] et mantenant ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 Avec XCas, je trouve : G(p) = 0.0749/(p+1.737)+0.551/(6p+0.576) Et g(t) = 0.07487*exp(-1.737*t)+0.0918*exp(-0.096*t)
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 merci pour votre réponse, je pense qu'il y a une erreur sur les résidus des pôle Ai. je vait recommencer en sortant le coefficient 1/6 . rq: h(t) est la fonction d'heaviside pour rendre le signal causale
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 merci pour votre réponse, je pense qu'il y a une erreur sur les résidus des pôle Ai. je vait recommencer en sortant le coefficient 1/6 . rq: h(t) est la fonction d'heaviside pour rendre le signal causale
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 je vais vous détailler mes calculs . pour trouver Ai, j'utilise le théoréme des résidus.
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 j'ai reussit à trouver le même résultat : g(t) = { 0.092*exp(-0.096*t) + 0.075*exp(-1.74*t) } * h(t) source de l'erreur: le coefficient (1/6) quel est votre logiciel qui permet de réaliser un tel calcul ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 Xcas. C'est un logiciel de calcul formel.
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 pour la fraction rationnelle suivante: G(p) = (p+2) / (p*(p+1)*(p²+9)) dans ce cas j'ai de la chance car le dénominateur est dèja factoriser, par contre le p² me pose probléme, est ce que nous avons des pôles double ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 Attention, si tu as un polynôme n(p) de degré n au dénominateur, le pôle sera de la forme n(p)/m(p) avec maxdeg(n(p)) = n-1. Donc par exemple, pour le p². Le pole sera de la forme (ap+b)/p².
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 si je factorise au dénominateur pour avoir uniquement des pôles simples, ça me donne : g(p) = (p+2) / [(p+0) * (p+1) * (p-3i) * (p+3i)] ainsi je peut trouver facilement les résidus de chaque pôle. est- ce juste ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 si je factorise au dénominateur pour avoir uniquement des pôles simples, ça me donne : g(p) = (p+2) / [(p+0) * (p+1) * (p-3i) * (p+3i)] ainsi je peut trouver facilement les résidus de chaque pôle. est- ce juste ?
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 ça me donne , g(t) = { (2/9)*exp(0) - (1/10)*exp(-t) + (5-5i/72)*exp(3t) + (1+i/36)*exp(-3t) } * h(t) sinon , est ce possible de passer de la forme (5-5i/72)*exp(3t) + (1+i/36)*exp(-3t) à quelque chose de la forme A* cos(3t) + B*sin(3t) A ET B sont des réels.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 ça me donne , g(t) = { (2/9)*exp(0) - (1/10)*exp(-t) + (5-5i/72)*exp(3t) + (1+i/36)*exp(-3t) } * h(t) sinon , est ce possible de passer de la forme (5-5i/72)*exp(3t) + (1+i/36)*exp(-3t) à quelque chose de la forme A* cos(3t) + B*sin(3t) A ET B sont des réels.
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 et sinon, comment on peut passer à cette forme ?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 24 octobre 2013 E-Bahut Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 et sinon, comment on peut passer à cette forme ?
mbody94 Posté(e) le 24 octobre 2013 Auteur Signaler Posté(e) le 24 octobre 2013 à ce moment là en utilisant le théoréme des résidus , comment je peux trouver le résidu du pôle (p²+4) ? encore merci pour votre aide.
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