Exponentielles Dm

[élèvede1ES]

Bonjour, j'ai un Dm DM de Mathématiques à faire pour la rentrée et malheureusement je suis quelque peu bloquée. J'espère que vous pourrez m'aider. Merci par avance. ( Je re-poste ce sujet avec la vérification et l'explication de la première réponse on présentes sur le premier post)

Partie A :

La courbe C représente une fonction f définie sur R par f(x)=(a)/(b+e^(0.5x-2) ) où a et b sont deux réels. La tangente à C au point A(4;6.5) passe par B(0;8)

1/ déterminer f(4) et f'(4)

f(4)=6.5 et f'(4)= 6.5/4= -1.625

car

l' ordonnée de A est 6.5 et de A à B il y a 4.

2/ Exprimer f'(x) en fonction des réels a et b.

f'(x) = (0*(b+e^(0.5-2) - a*0.5*e^(0.5-2)) / (b+e^(0.5-2))^2

=( -a*0.5*e^(0.5-2))/ (b+e^(0.5-2))^2

3/ Déterminer les valeurs de a et b grâce aux réponses précédentes

f(x)= a/ b+e^(0.5x-2)

f(4)= 6.5= a/b+ e^(0.5*4-2)

6.5= a/b+ 1

a= (b+1) *6.5= 6.5b+6.5

f'(4)= -1.625

-1.625= (-a*0.5*e^(0.5*4-2)) / (b+e^(0.5*4-2))^2

-1.625= (-a*0.5*e^(2-2)) / (b+e^(2-2))^2

-1.625= (-a*0.5*1)/ (b+1)^2

-1.625= -0.5a/ (b+1)^2

-1.625= -0.5a/ (b^2+2b+1)

-1.625*(b^2+2b+1)= -0.5a

-1.625*(b^2+2b+1))/-0.5= a

(-1.625b^2-3.25b-1.625)/0.5 =a

donc 6.5b+6.5=-3.25b^2-6.5b-3.25

6.5b+6.5+3.25b^2+6.5b+3.25=0

3.25b^2+13b+9.75=0

3.25b^2+b=-9.75/13

3.25b^2+b=-0.75

b^2+b=-0.75/3.25

b^2+b=3/13

Je suis bloquée à et endroit.

Partie B

soit la fonction g définie par g(x)= e^(0.25x-1)

1/ Etudier le sens de variation de g. Dresser son tableau de variation sur [0;10]

g'(x)= 0.25*e^(0.25x-1)

0.25 > 0

e^(0.25x-1)>0

donc 0.25*e^(0.25x-1)>0 et g(x) est strictement croissante sur [0;10]

2/ a. Montrer que la fonction f-g est décroissante sur [0;10]

Je ne sais pas comment faire.

b. Démontrer que l'équation f(x)-g(x)= 0 admet une seule solution sur [0;10]

Je pensais calculer f(0)-g(0) et f(10)-g(10) et ensuite le théorème des valeurs intermédiaires mais n'ayant pas trouvé a et b je suis dans l'impossibilité de le faire.

c. A l'aide la calculatrice donner la valeur arrondie au millième

Partie C

Pour un prix de vente unitaire x, exprimé en dizaines d'euros, f(x) est le nombre d'objet exprimé en milliers, que les consommateurs sont prêts à acheter et g(x) est le nombre d'objets, exprimés en milliers que les producteurs sont prêts à vendre.

1/ Pour un prix unitaire de 40 euros que peut o dire de l'offre par rapport à la demande ?

On fait f(40) et g(40) et on compare

2/ Quel est le prix de vente unitaire d'équilibre arrondi au centime près?

on fait f(x)=g(x) et on résout pour trouver x.

Merci pour le temps que vous m'accorderez. Au revoir.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Pour les deux premières questions, je suis d'accord (si ce n'est la justification pour la 1 qui est incomplète). En effet, il faut préciser que A appartient à C car A appartient à la tangente à C en x=4.

Pour la trois. Il y a des fautes dans les parenthèses dès la deuxième lignes. Donc, ton premier travail sera de me poser proprement le système de deux équations à deux inconnues.

[élèvede1ES]

f(x)= a/ b+e^(0.5x-2)

f(4)= 6.5= a/(b+ e^(0.5*4-2))

6.5= a/(b+ 1)

a= (b+1) *6.5= 6.5b+6.5

f'(4)= -1.625

-1.625= (-a*0.5*e^(0.5*4-2)) / (b+e^(0.5*4-2))^2

-1.625= (-a*0.5*e^(2-2)) / (b+e^(2-2))^2

-1.625= (-a*0.5*1)/ (b+1)^2

-1.625= -0.5a/ (b+1)^2

-1.625= -0.5a/ (b^2+2b+1)

-1.625*(b^2+2b+1)= -0.5a

-1.625*(b^2+2b+1))/-0.5= a

(-1.625b^2-3.25b-1.625)/-0.5 =a

donc 6.5b+6.5=3.25b^2+6.5b+3.25

6.5b+6.5-3.25b^2-6.5b-3.25=0

-3.25b^2+3.25=0

3.25b^2=-3.25

b^2 = -1

b= -1^0.5

b =-1

donc 6.5*(-1)+6.5=a

-6.5+6.5=a

a=0

En modifiant les parenthèses je me suis aperçue d'une erreur de signe ce qui m'a permis de peut être trouver la réponse à cette question, merci et j'espère bénéficier de votre aide pour la suite de l'exercice.

[Boltzmann_Solver]

Tu as oublié des parenthèses dans la première ligne.

Sinon, je ne suis pas d'accord avec tes solutions.

Déjà, on pose proprement le système.

S :

{ f(4) = 6,5

{ f'(4) = -6,5/4

=>

{ a/(b+exp(0,5*4-2)) = 6,5

{ -0,5*a/(b+exp(0,5*4-2))^2 = -6,5/4

=>

{ a/(b+1) = 6,5 (L1)

{ 0,5*a/(b+1)^2 = 6,5/4 (L2)

=>

{ a/(b+1) = 6,5

{ 0,5/(b+1)*6,5 = 6,5/4 On substitue (L1) dans (L2)

=>

{ a/(b+1) = 6,5

{ 0,5*4 = (b+1)

=>

{ a/(b+1) = 6,5

{ b = 2-1 = 1

=>

{ a = 6,5*(1+1) = 13

{ b = 1

CQFD.

Pour la suite, il suffit de dériver f-g. Tout simplement.

[élèvede1ES]

Merci pour cette aide, j'ai tout repris et je pense avoir compris comment cela fonctionne. J'ai tenté de faire la suite de l'exercice :

a.f(x)-g(x) =13/(1+e^(0.5x-2) ) -(e^(0.25x-1)

f'(x)-g'(x) =(0*(1+e^(0.5-2) - 13*0.5*e^(-1.5)) / (1+e^(-1.5))^2-((0.25*e^(0.25x-1))

f'(x)-g'(x) =(- 6.5*e^(-1.5)) / (1+e^(-1.5))^2 )-0.25*e^(0.25x-1)

- 6.5*e^(-1.5)<0

(1+e^(-1.5))^2>0

donc - 6.5*e^(-1.5)) / (1+e^(-1.5))^2 <0

et e^(0.25x-1)>0

-0.25 <0

donc -0.25*e^(0.25x-1))<0

Donc f'(x) -g'(x) =(- 6.5*e^(-1.5)) / (1+e^(-1.5))^2 )-0.25*e^(0.25x-1) est toujours<0 et f-g est strictement décroissante.

b. f(0)=(13)/(1+e^(0.5*0-2) )= 13/(1+e^(-2))

g(0)=e^(0.25*0-1)=e^(-1)

f(0)-g(0) =13/(1+e^(-2)-e^(-1)

Je bloque à cet endroit, je ne dois pas utiliser la bonne méthode.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour (la politesse !),

Pour la Partie B, 2a), ton calcul de dérivée est faux. Peux tu le détailler s'il te plaît.

[élèvede1ES]

Bonjour, j'ai recalculé mes dérivées avec la détail et voici ce que je trouve :

f(x)=(13)/(1+e^(0.5x-2)

Modèle u/v avec u= 13 u'=0 v= 1+e^(0.5x-2) v'=0.5* e^(0.5x-2)

on fait u' * v - u*v'

donc

f'(x) = 0*(1+e^(0.5x-2) - ( 13*0.5*e^(0.5x-2))

f'(x)=0*(1+e^(0.5x-2) - ( 6.5*e^(0.5x-2))

f'(x)= - 6.5*e^(0.5x-2)

g(x)= e^(0.25x-1)

On utilise le modèle e^u avec u' = 0.25

Soit 0.25* e^(0.25x-1)

on a donc f'(x)-g'(x)=- 6.5*e^(0.5x-2)-0.25* e^(0.25x-1)

e^(0.5x-2) >0

- 6.5<0

donc - 6.5*e^(0.5x-2) <0

e^(0.25x-1)>0

-0.25<0

donc -0.25* e^(0.25x-1)<0

Donc f'(x)-g(x) est toujours<0 et f-g est strictement décroissante

[Boltzmann_Solver]

Bonjour, j'ai recalculé mes dérivées avec la détail et voici ce que je trouve :

f(x)=(13)/(1+e^(0.5x-2)

Modèle u/v avec u= 13 u'=0 v= 1+e^(0.5x-2) v'=0.5* e^(0.5x-2)

on fait u' * v - u*v'

donc

f'(x) = 0*(1+e^(0.5x-2) - ( 13*0.5*e^(0.5x-2))

f'(x)=0*(1+e^(0.5x-2) - ( 6.5*e^(0.5x-2))

f'(x)= - 6.5*e^(0.5x-2)

Ton erreur est là. Je te rappelle que (u/v)' = (u'v-uv')/(v*v)

g(x)= e^(0.25x-1)

On utilise le modèle e^u avec u' = 0.25

Soit 0.25* e^(0.25x-1)

on a donc f'(x)-g'(x)=- 6.5*e^(0.5x-2)-0.25* e^(0.25x-1)

e^(0.5x-2) >0

- 6.5<0

donc - 6.5*e^(0.5x-2) <0

e^(0.25x-1)>0

-0.25<0

donc -0.25* e^(0.25x-1)<0

Donc f'(x)-g(x) est toujours<0 et f-g est strictement décroissante

[élèvede1ES]

Bonjour, ah oui en effet grosse étourderie de ma part.

(x)=(13)/(1+e^(0.5x-2)

Modèle u/v avec u= 13 u'=0 v= 1+e^(0.5x-2) v'=0.5* e^(0.5x-2)

on fait (u' * v - u*v')/(v)^2

donc

f'(x) = 0*(1+e^(0.5x-2) - ( 13*0.5*e^(0.5x-2))/(1+e^(0.5x-2))^2

f'(x)=0*(1+e^(0.5x-2) - ( 6.5*e^(0.5x-2))/(1+e^(0.5x-2))

f'(x)= - 6.5*e^(0.5x-2)/(1+e^(0.5x-2))^2

g(x)= e^(0.25x-1)

On utilise le modèle e^u avec u' = 0.25

Soit 0.25* e^(0.25x-1)

on a donc f'(x)-g'(x)= ( - 6.5*e^(0.5x-2))/(1+e^(0.5x-2))^2-0.25* e^(0.25x-1)

e^(0.5x-2) >0

- 6.5<0

- 6.5*e^(0.5x-2) <0

(1+e^(0.5x-2))^2>0

donc - 6.5*e^(0.5x-2)/(1+e^(0.5x-2))^2<0

e^(0.25x-1)>0

-0.25<0

donc -0.25* e^(0.25x-1)<0

Donc f'(x)-g(x) est toujours<0 et f-g est strictement décroissante

Ce devrait être mieux ainsi, merci.

Pour la question b malheureusement bloquée :

b. f(0)=(13)/(1+e^(0.5*0-2) )= 13/(1+e^(-2))

g(0)=e^(0.25*0-1)=e^(-1)

f(0)-g(0) =13/(1+e^(-2)-e^(-1)

J'espère que vous pourrez m'aider merci.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour, ah oui en effet grosse étourderie de ma part.

(x)=(13)/(1+e^(0.5x-2)

Modèle u/v avec u= 13 u'=0 v= 1+e^(0.5x-2) v'=0.5* e^(0.5x-2)

on fait (u' * v - u*v')/(v)^2

donc

f'(x) = 0*(1+e^(0.5x-2) - ( 13*0.5*e^(0.5x-2))/(1+e^(0.5x-2))^2

f'(x)=0*(1+e^(0.5x-2) - ( 6.5*e^(0.5x-2))/(1+e^(0.5x-2))

f'(x)= - 6.5*e^(0.5x-2)/(1+e^(0.5x-2))^2

g(x)= e^(0.25x-1)

On utilise le modèle e^u avec u' = 0.25

Soit 0.25* e^(0.25x-1)

on a donc f'(x)-g'(x)= ( - 6.5*e^(0.5x-2))/(1+e^(0.5x-2))^2-0.25* e^(0.25x-1)

e^(0.5x-2) >0

- 6.5<0

- 6.5*e^(0.5x-2) <0

(1+e^(0.5x-2))^2>0

donc - 6.5*e^(0.5x-2)/(1+e^(0.5x-2))^2<0

e^(0.25x-1)>0

-0.25<0

donc -0.25* e^(0.25x-1)<0

Donc f'(x)-g(x) est toujours<0 et f-g est strictement décroissante

Ce devrait être mieux ainsi, merci.

Pour la question b malheureusement bloquée :

b. f(0)=(13)/(1+e^(0.5*0-2) )= 13/(1+e^(-2))

g(0)=e^(0.25*0-1)=e^(-1)

f(0)-g(0) =13/(1+e^(-2)-e^(-1)

J'espère que vous pourrez m'aider merci.

[élèvede1ES]

Bonjour ,

Le théorème des valeurs intermédiaires est le suivant :

si f-g est strictement décroissante est continue sur [0;10] alors f-g=0 admet une seule et unique solution.

Faut-il alors résoudre f(x)-g(x)=0 ? Ou f(0)-g(0) et f(10)-g(10) ? Je suis un peu perdue

[Boltzmann_Solver]

Bonjour ,

Le théorème des valeurs intermédiaires est le suivant :

si f-g est strictement décroissante est continue sur [0;10] alors f-g=0 admet une seule et unique solution.

Faut-il alors résoudre f(x)-g(x)=0 ? Ou f(0)-g(0) et f(10)-g(10) ? Je suis un peu perdue

[élèvede1ES]

Bonjour, nous n'avons jamais abordé les corollaires en cours mais à première vue je dirais qu'il faut vérifier la troisième. Je n'ai pas vu ce que veut dire "monotone" en cours, le professeur nous a dit que ce n'est plus au programme cette année..

[Boltzmann_Solver]

Bonjour, nous n'avons jamais abordé les corollaires en cours mais à première vue je dirais qu'il faut vérifier la troisième. Je n'ai pas vu ce que veut dire "monotone" en cours, le professeur nous a dit que ce n'est plus au programme cette année..

[élèvede1ES]

Bonjour

, je dirai qu'il faut que f(0)-g(0) * f(10)-g(10) < 0 ? Mais cela me parait étrange puisque je n'arrive pas à calculer f(0) et g(0).

[Boltzmann_Solver]

Bonjour

, je dirai qu'il faut que f(0)-g(0) * f(10)-g(10) < 0 ? Mais cela me parait étrange puisque je n'arrive pas à calculer f(0) et g(0).

[élèvede1ES]

Bonjour

b. f(0)-g(0)=(13)/(1+e^(0.5*0-2) -(e^(0.25*0-1))

= 13/ (1+e^(-2) ) -(e^(-1))

=11.08

f(10)-g(10)=(13)/(1+e^(0.5*10-2) -(e^(0.25*10-1))

=13/(1+e^(3))- (e^(1.5)

=-3.86

11.08>0>3.86

On sait que f-g est continue et strictement décroissante sur [0;10], donc d'après le TVI l'équation f(x)-g(x)=0 admet une seule et unique solution .

c. f(x)-g(x)= 0 si x= 7,11

Partie C

1x = 10 euros

1/ f(4)= 13/(1+e^(0.5*4-2)

= 13/(1+e^(0))

=13/2= 7.5

g(4) = e^(0.25*4-1)

=e^(0)=1

Au prix unitaire de 40 euros les consommateurs sont prêts à acheter 7500 jouets et les producteurs sont prêts à en vendre 1000, l'offre est donc inferieure à la demande.

2/ Le prix d'équilibre est 71.8 euros

(Je me suis aidée de la table de la calculatrice )

Voilà j'ai tenté d'aller jusqu'au bout en espérant que ce soit correct

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

La b est parfaite ! Félicitations !

Pour la suite, je te le dirai quand je serai chez moi.

[élèvede1ES]

Merci pour l'aide! D'accord j'attend donc la suite