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DM de maths : le jardinier


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Un jardinier doit tracer deux allées perpendiculaires dans un terrain rectangulaire de 12m par 8m. Il partage ainsi le terrain en 4 parcelles.

On note x la largeur des allées.

On estime que l'aire occupée par les allées doit représenter 1/6 de l'aire totale du terrain.

On souhaite déterminer la largeur x des allées.

1. Calcul de l'aire des allées.

Exprimer en fonction de x :

a. L'aire A1 de l'allée horizontale

b. L'aire A2 de l'allée verticale.

c. L'aire A3 de l'intersection des deux allées.

d. en déduire que l'aire totale A occupée par les allées est 20x-x^2

2.Elaboration de l'équation.

a.Calculer l'aire correspondant à 1/6 de l'aire totale du terrain.

b.En déduire que le problème posé revient à résoudre l'équation x^2-20x+16=0

c.Montrer que (x-10)^2 - 84 = x^2-20x+16

3.Résolution de l'équation.

a.Sachant que 84 = racine de 84 au carré, factoriser (x-10)^2 - 84 à l'aide de l'identité remarquable appropriée.

b.En déduire les solutions de l'équation (x-10)^2 - 84 = 0. On calculera d'abord les valeurs exactes des solutions puis on donnera les valeurs approchées.

4.Solution du problème.

En déduire la largeur des allées.

Voilà merci bcp de m'aider happy.png

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  • E-Bahut

Il faut que tu télécharge tes documents sur un site de partage comme cjoint.com par exemple.

Les liens que tu as donnés correspondent à ton ordinateur.

En cliquant en bas sur "plus d'options de réponses", tu as aussi la possibilité de joindre un fichier.

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/applications/core/interface/file/attachment.php?id=12161">maths dm jardinier.doc

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maths dm jardinier.doc

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  • E-Bahut

Bonjour,

1. Calcul de l'aire des allées.

Exprimer en fonction de x :

a. L'aire A1 de l'allée horizontale Tu as la largeur : x et la longueur : 12m. Quelle est l'aire ? A1 = ...

b. L'aire A2 de l'allée verticale.Tu as la largeur : x et la longueur : 8m. Quelle est l'aire ? A2 = ...

c. L'aire A3 de l'intersection des deux allées. C'est un carré qui a x pour côté. Quelle est son aire ? A3 = ...

d. en déduire que l'aire totale A occupée par les allées est 20x-x2.

L'aire totale est A1 + A2 - A3. On retire A3 pour ne pas le compter deux fois car le carré se trouve à la fois dans la grande allée et dans la petite.

2.Elaboration de l'équation.

a.Calculer l'aire correspondant à 1/6 de l'aire totale du terrain.

Tu as l'aire totale du terrain : 12 * 8. Divise par 6.

b.En déduire que le problème posé revient à résoudre l'équation x2-20x+16=0

L'aire des allées est 20x - x2.

On veut qu"elle soit égale à 1/6 de l'aire totale du terrain. Ce 1/6 tu l'as calculé juste au-dessus. Alors 20x - x2 = ......

En faisant passer .... à gauche :

20x - x2 - ...... =0

c.Montrer que (x-10)2 - 84 = x2-20x+16 Développe l'expression de gauche pour voir si tu retrouves celle de droite.

3.Résolution de l'équation.

a.Sachant que 84 = racine de 84 au carré, factoriser (x-10)2 - 84 à l'aide de l'identité remarquable appropriée.

Juste avant, tu as montré que (x-10)2 - 84 = x2-20x+16. On peut donc utiliser l'une ou l'autre et dans l'énoncé on te propose donc d'utiliser la forme de gauche.

b.En déduire les solutions de l'équation (x-10)2 - 84 = 0. On calculera d'abord les valeurs exactes des solutions puis on donnera les valeurs approchées.

(x-10)2 - 84 est une identité remarquable avec a2 = (x-10)2et b2 =84.

Tu vas donc utiliser a2 - b2 = (a + b)(a - b) avec a=(x-10) et b=√84.

Cela va donner un produit de facteurs et tu utilises :

"Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit ......" Les valeurs exactes sont les valeurs que tu donnes avec les racines √.

Les valeurs approchées sont celles que tu donne après avoir fait l'opération sur ta calculette.

4.Solution du problème.

En déduire la largeur des allées.

Il y a deux solutions, une est à éliminer et tu gardes la bonne.

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1.

A1 = 12m²

A2 = 8m²

A3 = x²

2.b.

20x-x² = 16

et donc en faisant passer 16 à gauche, ça donne : 20x-x²-16 = 0

c. j'ai des petits problèmes pour développer et factoriser unsure.png

3.b.

je dois faire : ((x-10+racine.gif84))((x-10 -racine.gif84))

les deux x-10 s'annulent

il reste racine.gif84 et - racine.gif84 c'est ça ? smile.png

Un produit de facteur est nul, si et seulement si l'un de ses facteurs est nul smile.png

Valeurs exactes : racine.gif84 et - racine.gif84

Valeurs approchées : 9,2 et -9.2

4. la solution est 9,2 wink.png

Merci beaucoup de m'aider Denis Camus biggrin.png

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  • E-Bahut

1.

A1 = 12m² Non car l'allée ne mesure pas 12m par 1m, mais 12m par x.

A2 = 8m² Non pour la même raison

A3 = x² Oui.

2.b.

20x-x² = 16 Oui.

et donc en faisant passer 16 à gauche, ça donne : 20x-x²-16 = 0 Oui.

c. j'ai des petits problèmes pour développer et factoriser unsure.png

Pourtant c'est nécessaire ici

(x-10)2 est une identité remarquable que tu devrais savoir développer en utilisant : (a - b)2.

Il suffit ensuite de retirer 84.

3.b.

je dois faire : (x-10+racine.gif84) (x-10 -racine.gif84)

les deux x-10 s'annulent

il reste racine.gif84 et - racine.gif84 c'est ça ? smile.png

sad.png

Un produit de facteur est nul, si et seulement si l'un de ses facteurs est nul smile.png

Valeurs exactes : racine.gif84 et - racine.gif84

Valeurs approchées : 9,2 et -9.2

Quel est le premier facteur ? ..... S'il est nul on écrit : ....... = 0. Donc x = .........

Quel est le deuxième ? ........ S'il est nul on écrit : ....... = 0. Donc x = .........

4. la solution est 9,2 wink.png

Impossible : le jardin n'a que 8m de large.wink.png

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  • E-Bahut
Le premier facteur est : (x-10+racine.gif 84)===> s'annule pour x = 10 - √84 ===> x ≈ 0,83m

Le second est : (x-10-racine.gif 84) il est nul donc, (x-10-racine.gif 84)=0 et x=0.9===> s'annule pour x = 10 + √84 ===> x ≈ 19,16m

Lequel choisir ?

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  • E-Bahut

Oui, j'ai compris smile.png Merci beaucoup !

Donc, pour le 3.a, j'ai commencé et ça donne : (x-10+(racine.gif -84))(x-10-(-racine.gif 84)) = (x-10)²-84 non ?

(x-10+√84)(x-10-√84)) = (x-10)²-84 attention aux signes. Il n'y a pas de "-" devant 84 dans √84.

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  • E-Bahut

Tu as eu les valeurs exactes avec les facteurs nuls. La valeur exacte s'écrit avec les racines : 10 + √84 et 10 - √84

La valeur approchée se calcule à la calculette et te donne un résultat souvent avec des décimales. C'est une valeur approchée car on est bien obligé de se donner un nombre de décimales donné.

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