EXERCIce ( x , y et z)

[nadia97]

soit x, y et z non nuls tel que : x+y+z= 1/x + 1/y + 1/z et xyz =1

montrez que l'un des nombres x , y ou z est égal à 1

où j'en suis :

x+x+z = (yz + xz + xy)/xyz

= yz + xz + xy

x= yz + xz + xy- y- z

= y(z+x-1)+z(x-1)

je ne sais que faire après merci de m'aider en me montrant les étapes suivies

[elp]

je développe E=(x-1)(y-1)(z-1)

je trouve xyz-xy-xz+x-yz+y+z-1

xyz=1 par hypothèse donc E= x+y+z-xy-xz-yz

on sait que

x+y+z=1/x+1/y+1/z=(yz+xz+xy)/xyz=yz+xz+xy car xyz=1

donc E=0

donc l'un des facteurs de E est nul donc x-1=0 ou y-1=0 ou z-1=0 donc x=1 ou y=1 ou z=1