DM de math 1er ES

[Abiiy]

Bonjour j'ai un soucis sur cet énoncé, quelqu'un peut-il m'aider ?

Un particulier place 2000€ pendant un an à un taux d'intérêts x %. Au bout d'un an, il décide d'ajouter encore 2000€ au capital acquis et laisse ce capital aux mêmes conditions.

Au bout de la deuxième année, il dispose de 4305€.

Quel est le taux d'intérêts pratiqué sur ce placement ?

Merci d'avance.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Bonsoir,

Pour un placement, chaque année, on ajoute les intérêt au capital. Si j'appelle (vn)n, la suite donnant le capital dont dispose cette personne la nième année. Je te rappelle que les intérêts sont calculés en multipliant le capital de l'année précédente par le pourcentage d'intérêt.

A ton avis que vaut :

- v1

- v2.

- v3

[Abiiy]

Pour moi,

v1 = 2000 x taux d'intérêts

v2 = 4000 x taux d'intérêts

v3 = 4305 €

Mais je ne pense pas avoir bien compris ..

[Boltzmann_Solver]

Me revoilou.

Non, la première année, il y a 2000 euros. Donc, v1 = 2000.

Ensuite, la seconde année, il gagne x% d'intérêt et place 2000 euros. Donc, v2 = v1 (ce qu'il avait déjà) + v1*x/100 (les intérêts) + 2000 = 2000 + (1+x/100)*v1 = 2000*(2+x/100)

Donc, exprime moi v3 en fonction de v2 puis enfin de x.

[Abiiy]

Je n'ai toujours pas compris ..

[Boltzmann_Solver]

Tu refais la même chose. Tu pars du capital de l'année précédente auquel tu ajoutes les intérêts.

[Abiiy]

v3 = 2000 x (2+x/100) + (1+x/100) ?

[Boltzmann_Solver]

Non. Commence avec v2. v3 = (capital de l'année précédente) + (Intérêts)

Que vaut le capital de l'année précédente ?

Que vaut les intérêts accumulés l'année précédente.

[Abiiy]

Le capital de l'année précédente vaux = 2000*(2+x/100), c'est les intérêts que je ne comprend pas comment cela se calcul

[Boltzmann_Solver]

Les intérêts se calcule grâce au pourcentage. Tu fais le capital * le pourcentage.

[Abiiy]

v3 = 2000*(2+x/100) + v2*(x/100) ?

[Abiiy]

v3 = 2000*(2+x/100) + 2000*(2+x/100) * x/100

v3 = 4000+20x+4000+20x * x/100

v3 = 8000+40x * x/100

100*40x*x=8000

4000 x² = 8000

x²= 2

x= Racine 2 = 1,41%

[Boltzmann_Solver]

Tu as faux à la deuxième ligne (tu as mal développé 2000*(2+x/100) * x/100. Tu peux faire comme cela :

2000*(2+x/100) * x/100

=> 2000*x/100*(2+x/100)

=> (20x)*(2+x/100) que tu dois savoir développé.

De plus, tu en as fait quoi du v3 ? Il vaut combien déjà ?

[Abiiy]

il est censé valoir 4305€

[Boltzmann_Solver]

il est censé valoir 4305€

[Abiiy]

v3 = 2000*(2+x/100) + 2000*(2+x/100) * x/100

v3 = 4000+20x+[2000*x/100 * (2+x/100)]

v3 = 4000+20x+20x*(2+x/100)

v3 = 4000+20x+40x+0,2x²

= 4000+60x+0,2x²

[Boltzmann_Solver]

C'est juste pour le moment. Mais tu sais que v3 = .....

[Abiiy]

v3 = v2+v2*x/100

[Boltzmann_Solver]

Je vas résumer le post vu que l'élève n'a pas recopié ses réponses (pas bien !).

Soit (vn)n, la suite donnant le capital dont dispose cette personne la nième année.

D'après l'énoncé, on sait que :

- la première année, il y a 2000 euros. Donc, v1 = 2000.

- la seconde année, il gagne x% d'intérêt et place 2000 euros. Donc, v2 = v1 (ce qu'il avait déjà) + v1*x/100 (les intérêts) + 2000 = 2000 + (1+x/100)*v1 = 2000*(2+x/100). Au final, v2 = 2000*(2+x/100).

- la troisième année, on sait qu'il place ses économies aux mêmes conditions. Donc, v3 = v3 + v3*x/100 = v3(1+x/100) = 2000*(2+x/100)*(1+x/100).

- la troisième année, il est arrivé à la somme de 4305. Donc, v3 = 4305.

On arrive à l'égalité :

4305 = 2000*(2+x/100)*(1+x/100)

=> 2,1525 = (2+x/100)*(1+x/100)

=> 2,1525 = 2 + 3x/100 + x²/10000

=> 21525 = 20000 + 300x + x^2

=> x^2 + 300x - 1525 = 0

Delta = 300^2 + 4*1*1525 = 96100 = 310²

Donc, x1 = (-300-310)/2 = -305

et x2 = (310-300)/2 = 5.

En conclusion le placement est à 5% car on ne peut pas avoir un placement avec un taux négatif car on gagne de l'argent chaque année.