exercice sur les polynômes

[sabrina-05]

Bonsoir,

POurriez-vous m'aider svp sur ces deux exercices ?

Exercice 1: 1). Soient P et Q deux polynômes. Montrez que pour tout entier k, P-Q divise P^k - Q^k.

2). En déduire que pour tout P appartenant à K[X], P-X divise P(P)-P.

Exercice 2 : Soit P(x) un polynôme de degré n.

1). Montrez qu'entre deux racines réelles de P, il y a une racine réelle de P'.

2). En déduire que si P a toutes ses racines réelles, il en va de même de P'.

3). Est-ce-que si P' a toutes ses racines réelles, il en va de même pour P ?

POurriez-vous m'aider pour ces exercices svp car c'est noté !

Merci d'avance

bonne soirée !

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Comme toujours, je ne donne pas de corrigé. Mais je te donne des pistes pour réussir.

A toi de voir si cela te tente.

1) Soit tu connais l'identité remarquable P^k-Q^k pour P,Q dans K[X]. Soit, tu peux le démontrer par récurrence (un chouilla plus technique).

2) Es tu sûr de ton énoncé ? Car avec P=X³, ça ne marche pas.

Exo 2).

1) Utilise le théorème de Rolle.

2) Dénombre les racines obtenues à la question 1 et utilise le théorème fondamental de l’arithmétique pour conclure su l'existence ou non d'autres racines.

3) Non. Trouve un contre exemple simple.

[sabrina-05]

Bonjour,

oui je suis sûre de l'énoncé pour le petit 2). de l'exo 1

J'ai jamais vu le théorème de rolle, on a vu celui de Taylor... Je suis en L1 math

Je ne comprends absolument pas comment faire.