fonction, suite. vrai faux

[chocolat-x]

Bonjour m'aimerais un peu d'aide pour mon exo, pouvez vous m'aidez?

Répondre par vrai ou faux.

-si elle sont fausse justifiées par une démonstration ou un théorém ou définition du cours

-si elle sont vraies justifiées par un contre exemple

I-

1- soit f une fonction définie sur R. Si f'(0)=0, alors f admet un extrenum en 0

2- si f est une fonction derivable sur un intervalle I et positive sur I et si g=f², alors f et g ont le même sens de variation sur I

3- si f et g sont deux fonction dérivable sur [0;+infini[ telles que f(0)=g(0) et f' g' sur [0;+infini[, alors f<=g sur [+;+infini[

II- fonction f et g définies sur ]0;+infin[

1- si lim f(x) = -infini et si lim g(x) =+infini, alors lim f(x)/g(x)=-1

2- si lim f(x) = 0 et lim g(x) = 0, alors lim f(x)/g(x)=1

x tend sur +infini

Merci d'avance

[elp]

1)Faux, la dérivée doit, en plus d'être nulle, changer de signe. (exemple f(x)=x^3)

2)g=f² donc g'=2ff'

f positif donc 2ff' a le signe de f', dc g' et f' ont le même signe et f a le même sens de variation que g donc Vrai

3)on considère f-g

sa dérivée est f'-g'. Puisque f'<=g' alors f'-g'<=0 ce qui prouve que f-g est décroissante ds l'intervalle de l'énoncé.

(f-g)(0)=f(0)-g(0)=0 et comme f-g est décroissante sur [0;+inf[ alors (f-g) <=0 pour x>=0 et par conséquent f<=g dc Vrai

contre-exemples:

f(x)=-x² (td vers -00 si x td vers +00)

g(x)=x (td vers +00 qd x td vers +00)

f(x)/g(x)=-x²/x=-x ne tend pas vers -1 si x td vers +00

f(x)=1/x (td vers 0 si x td vers +00)

g(x)=1/x² (idem)

f(x)/g(x)=x ne td pas vers 1 si x td vers +00