dm suites

[LAURA1994]

Bonjour,

J'ai trouvé le résultat mais il y a une étape que je ne sais pas écrire

Voici mon énoncé :

Dans un village, l'association de gym comptait 50 adhérents en 2006.

Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chq année elle reçoit 18 nvelle adhésions et que 85% des anciens inscrits renouvellent leur adhésion.

On note An le nb d'adhérents pr l'année 2006+n. On a donc A0=50 et An+1=0.85An+18 pr tout entier naturel n.

1. Soit la suite (Un) défini par Un=An-120 pr tout n supérieur ou egal a 0.

a) Montrez que la suite (Un) est géométrique dont on précisera le terme ini et la raison.

Voici ma réponse

Sachant que Un = an-120

Une suite géométrique par récurrence :

Un+1 = Un * q

Un = an-120

Un+1 = an+1 -120

je remplace an+1 par 0.85an+18

donc

Un+1 = 0.85 an + 18 - 120

Un+1 = 0.85 an -102

et c'est là que je ne sais pas comment l'exprimer : est ce que si j'écris cela c'est juste ?

Un+1 = 0.85 an - 102/0.85

Un+1 = 0.85 (an-120)

Un+1 = 0.85 Un

Donc c'est une suite géométrique de raison 0.85

Ma prof nous a donner des aides donc j'ai fait comme indiqué mais je ne comprends pas pourquoi on prend la définition par récurrence et non explicite car on demande le 1er terme de cette suite.

explicite : Un=U0*q^n

car U0 = 1 er terme et il n'y a pas de 1er terme dans la formule par récurrence.

Réponse pour le 1er terme :

Un=an-120

a0=50

On remplace Un par U0

U0=a0-120

U0=50-120

U0 = -70

donc le 1er terme est -70.

Merci de votre aide.

Laura

TES

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Laura,

Il y a de l'idée mais ta rédaction est trop longue (et pas très claire).

1)a. Soit n dans N. Tu sais que :

- An+1 = 0.85*An+18 (1) avec A0 = 50

- Un = An - 120.

Par substitution sur An et An+1 dans (1), on obtient : Un+1 + 120 = 0.85(Un+120) +18

=> Un+1 + 120 = 0.85Un + 0.85*120 + 18

=> Un+1 + 120 = 0.85Un + 120

=> Un+1 = 0.85Un

On reconnaît une suite géométrique de raison 0.85 et de premier terme U0 = A0 - 120 = 50 - 120 = -70.