Espace euclidien

[hellow]

Bonjour,

je galère sur la première question de mon exercice car je ne sais pas par où commencer. J’espère que vous pourrez m'aider un petit peu.

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. On dit qu'un endomorphisme f de E est antisymétrique si, et seulement si, quelque soit ( x,y) appartenant à E² (f(x)|y)=-(x|f(y)).

Soit u appartenant à L(E), non nul et tel que quelque soit x appartenant à E, (u(x)|)=0.

1) On note A(aij) ( le tout indice 1<=i,j<=3) la matrice de f appartenant L(E) dans une base orthogonale B=(e1,e2,e3). Exprimer quelque soit 1<=i,j<=3 (f(ei)|ej) à l'aide de la matrice A.

En deduire que f est antisymétrique si, et seulement si, A est antisymétrique.

Voila, le problème c'est que je ne voit pas du tout ce qu'il faut faire ou comment proceder. Je vous remercie d'avance

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Il suffit de développer f sur la base B.

f(ei) = a1i*e1 + a2i*e2 + a3i*e3

Donc, pour tout (i,j) dans [|1,3|], (f(ei)|ej) = (a1i*e1 + a2i*e2 + a3i*e3|ej)

Puis par linéarité, (f(ei)|ej) = (a1i*e1|ej) + (a2i*e2|ej) + (a3i*e3|ej)

Toujours par linéarité, (f(ei)|ej) = a1i*(e1|ej) + a2i*(e2|ej) + a3i*(e3|ej)

Je te laisse me faire les calculs.

Pour prouver que A est antisymétrique. Recommence la procédure avec les expressions contenues dans (f(x)|y)=-(x|f(y)).

[hellow]

Je vous remercie énormément, j'avais du mal à débuter et je vais pouvoir continuer tranquillement maintenant.

[Boltzmann_Solver]

Je t'en prie.

Bonne fin de soirée.