Droites concourantes

[misterdo]

Bonjour,

voici l'exercice que j'ai à faire durant ces vacances. Voici l'énoncé et ce que j'ai trouvé, pourriez vous, svp, valider mes réponses et m'amener sur le bon chemin pour les question encore incomplètes. Merci.

OABC est un carré de côté 4 cm

M est le point défini par vec{OB} = -2 vec {OM}

(DE) et (FG) sont les parallèles passant par M aux côtés (OA) et (OC) du carré

On se propose de démontrer que les droites (OB), (GD), (FE) sont concourantes.

1- Choix d'un repère

a) Dire pourquoi ( O;1/4vec{OA};1/4vec{OC}) est un repère orthonormal.

b) Quelles sont, dans ce repère, les coordonnées des points B, G, F, D, E et les coordonnées des vecteurs et vec {OB} et {GD}

2- Détermination du point d'intersection I des droites (OB) et (GD)

a) Pourquoi les vecteurs {OI} et {OB} sont-ils colinéaires ?

b) On note (x;y) les coordonnées de I dans la question 1

Démontrer que y = x

c) en déduire, en fonction de x, les coordonnées de vec{ID}

d) Pourquoi les vecteurs {ID} et {GD} sont-ils colinéaires ?

En utilisant ce résultat, montrer que x = -1/2

e) donner les coordonnées du point I

3- La droite (FE) passe par I

En utilisant les méthodes précédentes, démontrer queles points F, I, E sont alignés.

Voici ce que j'ai trouvé :

1.a. on sait que OC = OA comme OABC est un carré. Donc 1/4 OC = 1/4 OA = 1 cm. Donc la valeur en abscisse est la meme que celle en ordonnée donc on a bien un repère orthonormal.

1.b. B est sur le meme axe parallèle à l'abscisse que C

B est sur le meme axe parallèle à l'ordonnée que A

Cela est logique puisque B est un point du carré. Comme OA = 4 et OC = 4 => B(4;4)

Coordonnées G

vec OB(4-0) OB = (4)

(4-0) (4)

Posons M(x;y) vec OM(x-0) -2 vec OM(-2x)

(y-0) (-2y)

-2x = 4 x = -2

-2y = 4 y = -2 M(-2;-2)

M est sur le meme axe parallèle à l'ordonnée que G

C est sur le meme axe parallèle à l'abscisse que G

Donc G(-2;4)

Coordonnées F

F meme axe que M

F meme axe que O

F (-2;0)

Coordonnées D

D meme axe que O

D meme axe que M

D (0;-2)

Coordonnées E

E meme axe que A

E meme axe que M

E (4;-2)

Coordonnées vec GD

(0+2) (2)

(-2 -4) (-6)

2.a. comme les points BOI sont alignés alors on peut en deduire que les vecteurs OI ET OB sont colinéaires.

Pour la démonstration je ne sais comment faire !

2.b. comme les vecteurs OI ET OB sont colinéaires et sachant que O(0;0) étant l'origine, alors les points déterminant les coordonnées sont I et B. Comme B(4;4) on voit que xB = yB alors on aura aussi xI = yI

2.c. vec ID(0 -x) (-x)

(-2 -y) (-2 -y)

2.d. comme les points G I ET D sont alignés alors on peut en déduire que les vec GD et ID sont colinéaires

pour la démonstration je ne sais toujours pas faire !

Cela est-il juste svp ?

Je bloque par la suite mais je me demande si ce ne sont pas mes resultats qui sont erronés....

Merci pour votre aide

[Papy BERNIE]

Bonjour,

1)a) OK

En vect avec i=(1/4)OA et j=(1/4)OC :

OB=OA+AB=4i+4j donc B(4;4)

OM=-(1/2)OB=-(1/2)(4i+4j)=-2i-2j donc M(-2;-2)

xG=xM=-2

yG=yB=4

G(-2;4)

Avec les mêmes remarques on a :

F(-2;0)

D(0;-2)

E(4;-2)

OB(xB-xO;yB-yO) donc OB(4;4)

Même technique :

GD(2;-6)--->OK avec toi.

2- Détermination du point d'intersection I des droites (OB) et (GD)

a) Pourquoi les vecteurs {OI} et {OB} sont-ils colinéaires ?

I est defini comme intersection de (OB) et (GD) donc le point I est sur sur (OB) donc les vect OI et OB sont colinéaires car portés par une même droite.

b) On note (x;y) les coordonnées de I dans la question 1

Démontrer que y = x

La doite (OB) qui passe par l'origine a pour équa : y=ax

et comme elle passe par B(4;4) , on peut écrire : 4=a*4 qui donne a=1.

Donc équa de (OB) : y=x

I est sur (OB) donc x=y

c) en déduire, en fonction de x, les coordonnées de vec{ID}

ID(0-x;-2-y) soit ID(-x;-2-y)

Mais xI=yI donc :

ID(-x;-2-x)

d) Pourquoi les vecteurs {ID} et {GD} sont-ils colinéaires ?

I est defini comme intersection de (OB) et (GD) donc le point I est sur sur (GD) donc les vect ID et GD sont colinéaires car portés par une même droite.

[Papy BERNIE]

Montrer que x=-1/2

GD(2;-6)

Et on a vu que ID(-x;-2-x)

GD et ID sont colinéaires donc leurs coordonnées sont proportionnelles :

2/-x=-6/(-2-x)

Produit en croix et à la fin , on trouve :

x=-1/2

Donc I(-1/2;-1/2)

3)

Pour finir tu montres que les vecteurs FI et FE sont colinéaires.

[misterdo]

Merci beaucoup pour votre aide, vous m'avez bien aidé, bonne semaine

[Papy BERNIE]

Merci et bonne semaine à toi aussi.