Fonction logarithme népérien et exposant réels 1

[jerem=besoins d'aide]

Exercice 1 :

Soit la fonction f définie sur [ 0.5; 5.5] par : f(x) = 0.5 x ² (1.5- In(x)).

1)On désigne par f' la dérivés de f sur [ 0.5 ; 5.5].

a) Calculer f' (x).

b) Montrer que f' = x (1 -In(x)) pour tout s de [0.5 ;5.5].

c) Résoudre sur [ 0.5; 5.5 ] puis dresser le tableau de variation de la fonction f.

2) a) Montrer, à l'aide du tableau de variation, que l'équation f (x) = 0 admet une solution sur [ 0.5;5.5].

b) Reproduire le tableau suivant et le compléter en donnant les valeurs décimales de f(x) à 10- ² près.

tableau

[x /4 / 4.1 / 4.2 / 4.3 / 4.4 /4.5 / 4.6 / 4.7 / 4.8 / 4.9 / 5 ]

[f(x)/. / . / . / . / . / . / . / . / . / . / . ]

c) En déduire un encadrement à 0.0 près de la solution de l'équation f(x) = 0.

d) Résoudre, par le calcul , l'équation f(x) = 0 sur [ 0.5 ;5.5]. Donne la valeur exacte de la solution , puis une valeur approchée à 0.01 près.

Comparer avec la réponse du c.

[Papy BERNIE]

Bonjour,

1)

a) b)

f est de la forme uv dont la dérivée est : u'v+uv'

avec :

u=0.5x² donc u'=x

v=1.5-ln x donc v'=-1/x

f '(x)=x(1.5-ln x) -0.5x

f '(x)=x -x*ln x ou f '(x)=x(1-lnx)

c)

Sur [0.5;5.5] , le facteur x est tjrs positif et :

1-lnx > 0 donne : ln x < 1 donc :

1- ln x > 0 sur [0.5;e[

et 1-ln x < 0 sur ]e;5.5]

Même chose donc pour f '(x).

Tu peux faire le tableau de variation seul.

2)

a)

f(0.5) ~ 0.27 qui est positif

f(e)=0.25e² qui est positif

f(5.5) ~ -3.1

D'après le tableau de variation, la fct f(x) est continue et strictement croissante sur [0.5;e] et passe d'une valeur positive à une autre valeur positive. D'après le TVI , il n'existe pas de valeur "a" telle que f(a)=0.

D'après le tableau de variation, la fct f(x) est continue et strictement décroissante sur [e;5.5] et passe d'une valeur positive à une valeur négative. D'après le TVI , il existe un unique réel "a" tel que f(a)=0.

TVI=théorème des valeurs intermédiaires.

2)

b) Tu fais seul en entrant ta fct dans ta calculatrice.

c) Tu vas trouver :

4.48 < a < 4.49

car f(4.48) ~ 0.0038 et f(4.49) ~ -0.019

d)

Il faut résoudre sur [0.5;5.5] :

1.5-lnx=0

lnx=1.5

lnx=1.5*lne car lne=1

lnx=lne^1.5

x=e^1.5 ou x=e^3/2

soit

x ~ 4.48 arrondi à 10^-2.