Dérivation et sens de variation

[angeldivin]

soit le demi-cercle de diamètre AB , 6 cm et H un point du segment [AB] distinct de A et de B et soit x la longueur AH. La perpendiculaire en H à (AB) coupe le demi cercle en M. De plus K est le pied de la hauteur issue de H dans le triangle MHB.

Le but de cet exercice est de déterminer pour quelle(s) position(s) de H sur ]AB[, le segment [HK] a une longueur maximale. On note HK=f(x)

1a) En exprimant cos(BAM) de deux différentes manières prouver que AM= sqrt(6x).

b) Justifiez le parallélisme de (HK) et de (AM) et en déduire que

2a) f est définie et dérivable sur ]0;6[ et donc exprimez f '(x).

b) Puis déduisez en les variations de f et enfin concluez.

Merci

[Papy BERNIE]

Bonjour,

1)

a)

Dans le triangle AMB rectangle en M : cos BAM=AM/AB=AM/6

Dans le triangle AHM rectangle en H : cos BAM=AH/AM=x/AM

Donc : AM/6=x/AM

qui donne bien : AM=V(6x)--->V=racine carrée.

b)

2 droites ppd à une même 3ème sont // entre elles.

Tu expliques que tu peux utiliser Thalès dans les triangles BHK et BAM :

BH/BA=HK/AM

(6-x)/6=HK/V(6x) qui donne :

HK=[V(6x)(6-x)]/6 mais V(6x)=V6*Vx

donc :

HK=(V6/6)(6-x)*Vx

2)

a)

f est de la forme uv avec :

u=6-x donc u'=-1

v=Vx donc v'=1/(2Vx)

f '(x)=(V6/6)[-Vx+(6-x)/(2Vx)]

On réduit au même déno dans les [......] :

f '(x)=V6/6(-Vx*2Vx+6-x)/2Vx)=V6/6(-3x+6)/2Vx

La suite plus tard.

[Papy BERNIE]

2) b)

Donc f '(x) est du signe (-3x + 6) puisque les autres facteurs sont positifs.

Donc f '(x) > 0 pour x < 2

Donc sur ]0;6[ , f(x) croît sur ]0;2] et décroît ensuite.

Donc HK est max pour x=2.

Tu peux calculer f(2) pour avoir HK maximum.

Je ne suis pas là cet après-midi.

[Papy BERNIE]

Tu me demandes par message hier soir de détailler la question 2) alors que si j'ai bien compris cet exo est pour ce matin . Un peu tard non ? Il faut faire tes exos sans attendre la dernière minute. Je me demande aussi si tu as essayé de refaire ce que je t'ai envoyé au brouillon ou si tu as simplement regardé ton écran.

Je ne fais pas de maths le soir. Je fais ton n°2 sur feuille : ça ira plus vite même si c'est trop tard pour toi.

Dans (-3x+6) que tu vas trouver dans f ' (x) , tu peux mettre 3 en facteur , ce qui donne : 3(-x+2). Je ne l'ai pas fait pour ne pas te compliquer la vie .

Et : -x+2 > 0 pour x < 2.

Puis : -x+2 < 0 pour x > 2.

Je suppose aussi que tu comprends que : -Vx*2Vx=-2x. Oui ?