Les Nombres Complexes

[julie76160]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un DM. Voici l'enoncé:

Soit f l'application qui a tout point M d'affixe z du plan associe le point M' d'affixe z'=(1/3)iz²

1) Exprimer module de z' en fonction de module de z.

2) En deduire l'ensemble (T') que décrit le point M' si M décrit le cercle de centre O et de rayon 3.

3) Exprimer arg(z') en fonction de arg(z)

4) En déduire l'ensemble (S') que décrit le point M' siM décrit la droite des réels.

Merci de m'aider

[Barbidoux]

Soit f l'application qui a tout point M d'affixe z du plan associe le point M' d'affixe z'=(1/3)iz²

1) Exprimer module de z' en fonction de module de z.

L'affixe de tout point M du plan peut s'écrire z=|z|*(cos(a)+i*sin(a))=|z|*exp(i*a) où |z| est le module de z et a son argument

z^2=|z|^2*exp(i*a)^2=|z|^2*exp(i*2*a) ==> z'=i*|z|^2*exp(i*2*a)/3=|z|^2*exp(i*2*a+i*π/2)/3

2) En deduire l'ensemble (T') que décrit le point M' si M décrit le cercle de centre O et de rayon 3.

si M décrit le cercle de centre O et de rayon 3 alors z=|z|*exp(i*a)=3*exp(i*a)

z'=|z|^2*exp(i*2*a+i*π/2)/3=3*exp(i*2*a+i*π/2)

et M' décrit le même cercle avec un déphasage de a+π/2

3) Exprimer arg(z') en fonction de arg(z)

arg(z')=2*arg(z)+π/2

4) En déduire l'ensemble (S') que décrit le point M' si M décrit la droite des réels.

Si M décrit la droite des réels alors a=0 et z'=|z|^2*exp(i*π/2)/3 donc M' décrit l'axe des imaginaires

[julie76160]

Bonjour, /user/24224-barbidoux/">Barbidoux et merci pour ta reponse.

Malheureusement, c'est un peux trop complexe pour moi.

J'ai essayer de faire la première question et j'ai trouvé ça: module de z'= 1/3* module de z * module de z.

Pour arriver a ce resultat, j'ai calculer le module de i et de 1/3, et j'ai mit que le module de z c'etait module de z * module de z.

Est-ce correcte?

[Barbidoux]

Non ce n'est pas difficile il faut simplement connaitre les différentes expressions de l'affixe z d'un vecteur OM.

Un nombre complexe z peut s'écrire z=x+i*y où x est la partie réelle du nombre complexe et y sa partie imaginaire. Le module de z vaut |z|=√(x^2+y^2) est son argument a=ArcTan(y/x) ce qui fait z peut s'écrire aussi z=|z|*(cos(a)+i*sin(a)) avec x=|z|*cos(a) et y=|z|*sin(a). Enfin on démontre que (cos(a)+i*sin(a))=exp(i*a) ce qui fait que z peut s'écrire aussi z=|z|*exp(i*a) ce sont les trois formes sous lesquelles on peut exprimer un nombre complexe z.

z=x+i*y=|z|*(cos(a)+i*sin(a))= |z|*exp(i*a) avec |z|=√(x^2+y^2) et arg(z)= a=ArcTan(y/x).

Il est ensuite nécessaire e connaître un certain nombre de règles concernant le module et l'argument d'un produit de nombres complexes ou du rapport de nombre complexes à savoir :

z1*z2 ==> |z1*z2|=|z1|*|z2| et arg(z1*z2)=arg(z1)+Arg(z2)

z1/z2 ==> |z1*z2|=|z1| / |z2| et arg(z1/z2)=arg(z1)-Arg(z2)

Tout ceci est du cours qu'il faut pprendre pour pouvoir faire des exercices sur les complexes.

Par exemple pour la première question de ton exercice :

z'=i*z^2/3 ==> |z'|= |i|*|z|*|z|*(1/3)=|z|^2/3 et Arg(z')=arg(i)+Arg(z)+arg(z)=π/2+2*arg(z)

[julie76160]

Merci de nouveau pour ta reponse. Mais dans ta reponse tu parles de quelques règles que je n'ai jamais vu et comme cet exercice est un DM, le prof va se demander pourquoi je met ça avlors que je ne suis pas censé le connaitre. Par exemple: a=ArcTan(y/x) je ne l'ai jamais vu. Aurait tu une autre méthode plus simple, et adapté au programme de terminale S, s'il te plait.

Merci beaucoup de ta gentillesse

[Barbidoux]

Il me semblait que le passage de la forme cartésienne d'un nombre complexe à sa forme polaire était au programme de terminale S et qu'un élève de terminale savait comment on calcule un angle connaissant la valeur de son sinus, cosinus ou de sa tangente.... ceci dit je t'ai indiqué une réponse à la première question qui ne nécessite pas d'exprimer l'argument des nombres complexes. Il te suffit de l'utiliser pour répondre à la seconde question et les suivantes.