Dérivabilité

[sonia22]

Bonjour à tous j'aurai besoin d'aide pour ces deux exercices

voilà ce que jai réussi à faire pour le moment

Exercice 1

Question 1

Soit x>0

ln continue sur [x;x+1]

ln dérivable sur ]x;x+1[

avec f(t)=ln(t) et donc f'(t)=1/x

donc d'après le théorème des accroissements finis il existe c appartenant à ]x;x+1 tel que :

ln(x+1)-ln(x)=f'©(x+1-x)

ln(x+1)-ln(x)=1/c

or 1/(x+1) 1/c <=1/x

donc 1/(x+1) ln(x+1)-ln(x) (1/x)

Question 2

je vois pas trop j'ai essayé de partir de l'expression de la question 1 pour partir mais je bloque

Exercice 2

Je bloque totalement je ne sais vraiment pas comment partir pour la démonstraion, les démonstration n'étant jamais été mon fort

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Commençons par l'exercice n°1.

1) Ce que tu as écris n'a aucun sens. As tu recopié quelque chose sur le net ? As tu compris ce que tu as écris ?

L'idée ici est que partir de l'inégalité suivante : quelque soit t dans [x,x+1], x t <x+1.

En travaillant à partir de cette inégalité, tu peux montrer la question 1)

2) Je n'arrive pas à lire la question. Ton scan n'est pas assez lisible.

[sonia22]

Bonjour à tous j'aurai besoin d'aide pour ces deux exercices

voilà ce que jai réussi à faire pour le moment

Exercice 1

Question 1

Soit x>0

ln continue sur [x;x+1]

ln dérivable sur ]x;x+1[

avec f(t)=ln(t) et donc f'(t)=1/x

le théorème des accroissement finis dit que il existe c appartenant à ]a;b[ tel que f(b)-f(a)=f'©(b-a) donc pour nous ici

d'après le théorème des accroissements finis il existe c appartenant à ]x;x+1[ tel que :

f(x+1)-f(x)=f'©(x+1-x)

ln(x+1)-ln(x)=f'©(x+1-x)

ln(x+1)-ln(x)=1/c

or x c x+1

or 1/(x+1) 1/c 1/x car

donc 1/(x+1)ln(x+1)-ln(x) (1/x)

je ne vois pas en quoi ce que je dis est incohérent c'est l'application du théorème des accroissements finis

Question 2

En déduire pour k appartenant à N privé de 0 et 1 fixé, la lim quand n tend vers l'infini de , SOMME de p=n+1 à kn de (1/p)

je vois pas trop j'ai essayé de partir de l'expression de la question 1 pour partir mais je bloque

Exercice 2

Je bloque totalement je ne sais vraiment pas comment partir pour la démonstraion, les démonstration n'étant jamais été mon fort

[Boltzmann_Solver]

Déjà, la politesse aurait voulu que tu me dises bonsoir.

Ensuite, l et I apparaissant de manière identique sur mon PC, je n'avais pas compris que tu parlais de la fonction ln vu que tu la déclarais ensuite.

Cela dit, il vaut mieux ma méthode car tu es contrainte d'étendre dans domaine (passage de c dans ]x,x+1[ à [x,x+1], s'if s'il faut passer par le TAF

Proposition.

Soit x, une réel strictement positif.

Pour tout t dans [x,x+1], x t x+1

=> 1/(x+1) 1/t 1/x

==> int(1/(x+1),t,x,x+1) int(1/t,t,x,x+1) int(1/x,t,x,x+1)

=> 1/(x+1) ln(x+1)-ln(x) 1/x.

C'est plus simple. Mais, je tiens à te rassurer, ta méthode est tout à fait recevable et juste.

Question 2)

Il te suffit de sommer l'inégalité de la question 1) de x=n+1 à x=kn-1 en vérifiant que ces sommes existent pour tout k,n.

Tu trouveras que la série est minorée par une fonction ln(n) qui diverge en +inf quand n-->+inf. Donc, la série à étudier diverge également.

[sonia22]

Déjà, la politesse aurait voulu que tu me dises bonsoir.

Ensuite, l et I apparaissant de manière identique sur mon PC, je n'avais pas compris que tu parlais de la fonction ln vu que tu la déclarais ensuite.

Cela dit, il vaut mieux ma méthode car tu es contrainte d'étendre dans domaine (passage de c dans ]x,x+1[ à [x,x+1], s'if s'il faut passer par le TAF

Proposition.

Soit x, une réel strictement positif.

Pour tout t dans [x,x+1], x t x+1

=> 1/(x+1) 1/t 1/x

==> int(1/(x+1),t,x,x+1) int(1/t,t,x,x+1) int(1/x,t,x,x+1)

=> 1/(x+1) ln(x+1)-ln(x) 1/x.

C'est plus simple. Mais, je tiens à te rassurer, ta méthode est tout à fait recevable et juste.

Question 2)

Il te suffit de sommer l'inégalité de la question 1) de x=n+1 à x=kn-1 en vérifiant que ces sommes existent pour tout k,n.

Tu trouveras que la série est minorée par une fonction ln(n) qui diverge en +inf quand n-->+inf. Donc, la série à étudier diverge également.

Bonsoir tout de meme encore désolé

je ne comprend pas ce que vous essayez de me dire?

[Boltzmann_Solver]

int(f(t),t,a,b) signifie intégrale de la fonction f de variable t entra a et b.

Sinon, développe un peu. Tu ne comprends pas quelle question.

[sonia22]

int(f(t),t,a,b) signifie intégrale de la fonction f de variable t entra a et b.

Sinon, développe un peu. Tu ne comprends pas quelle question.

[Boltzmann_Solver]

Écris l'inégalité pour x=n+1 puis pour x=n+2. Fais la somme termes à terme.

Écris l'inégalité pour x=n+2 puis somme la à la somme précédente.

Et recommence ainsi jusqu'à x=kn-1.