Petit Problémes De Proba !

[Lovation]

Bonjour, pouvez-vous m'aider pour mes 2 exercice de probabilité,s'il vous plais ?

Exercice n°1

Les faces d'un dé cubique sont numérotées : 1, 2, 2, 3, 3, et 3.

Les faces d'un second dé cubique sont numérotées 1, 1, 2, 2, 3 et 4.

Soit X la variable aléatoire ainsi définie : à chaque lancer des deux dés, on associe le nombre égal à la valeur absolue de la différence des points obtenus par les deux dés. On admet, pour l'un et pour l'autre, l'équiprobabilité d'apparition de chaque face.

1) Déterminer la loi de probabilité de la variable X

2) Calculer les valeurs exactes de l'espérance et l'écart type de X

Exercice n°2

Dans une boite on a placé 6 cartons indiscernables au toucher sur lesquels sont écrites les 6 lettres du mot COPIES (une lettre par carton). On tire successivement et sans remise 4 cartons et on les aligne dans l'ordre de sortie de manière à former un "mot" de 4 lettres (On appelle "mot" toute suite de 4 lettres ayant une signification ou non)

1) Dénombrer tout les mots possibles

2) Calculer la probabilité de chacun des évènements :

a: Le mot formé est PISE

b: La lettre E figure dans le mot

c: Le mot commence par la lettre E

3)Reprendre la question précédente avec les 8 lettres du mot RECOPIES. (On forme toujours un mot de 4 lettres).

Merci d'avance !

[Lovation]

Je n'ai pas trop bien compris .

Et pour l'autre exercice?

[Barbidoux]

Les faces d’un dé cubique sont numérotées : 1, 2, 2, 3, 3 et 3.

Les faces d’un second dé cubique sont numérotées ; 1, 1, 2, 2, 3 et 4.

Soit X la variable aléatoire ainsi définie : à chaque lancer des deux dés, on associe le nombre égal à la valeur absolue de la différence des points obtenus par les deux dés. On admet, pour l’un et l’autre dé, l’équiprobabilité d’apparition de chaque face.

On effectue le tableau à deux entrées des possibilités

36 tirages possible la probabilité de chaque tirage vaut 1/36

1) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

La variable X peut prendre les valeurs X{0,1,2,3} avec comme probabilité P{X}{9/36, 17/36, 9/36,1/36}

2)Calculer les valeurs exactes de l’espérance et l’écart type de X.

E(X}=Somme Xi*P{Xi} =0*9/36+1*17/36+2*9/36+3*1/36=19/18=19/18=1.056

variance =E{X^2}-E(X)^2=0*9/36^2+1*17/36+2^2*9/36+3^2*1/36-(0*9/36+1*17/36+2*9/36+3*1/36)^2=0.608

écart type =√(variance)=√(0.608)=0.78

à vérifier....

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Pour l second j'aurais dit :

Dans une boîte on a placé six cartons indiscernables au toucher sur lesquels sont écrites les six lettres du mot COPIES (une lettre par carton).

On tire successivement et sans remise quatre cartons et on les aligne dans l’ordre de sortie de manière à former un « mot » de quatre lettres. (On appelle « mot » toute suite de quatre lettres ayant une signification ou non).

1) Dénombrer tous les mots possibles.

choix de 4 lettres parmi 6 que l'on peut permuter = 6C4 *4!=(6!/(4!*2!)*4!=360

2) Calculer la probabilité de chacun des événements :

A « Le mot formé est PISE »

Sur 360 possibilités de mots on ne peut former qu PISE donc la probabilité d'obtenir PISE vaut 1/360

B « La lettre E figure dans le mot »

Pour constituer ce mot on peut placer E (4 possibilités Exxx, xExxx, xxEx et xxxE )

Choisir dans les lettres restantes 3 lettres parmi 5 soit 5!/(3!*2!)=10 possibilités

Ordonner ces possibilités de toutes le manières possibles 3! possibilité soit au total 10*4*3!=240 possibilités ==> P=240/360=1/3

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La probabilité d'avoir E en chaque position du mot vaut 1/6 soit 4*1/6=2/3

C « Le mot commence par la lettre E »

La probabilité d'avoir E en première position vaut 1/6

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3) Reprendre la question précédente avec les 8 lettres du mot RECOPIES. (On forme toujours un mot de 4 lettres).

a) Dénombrer tous les mots possibles.

choix de 4 lettres parmi 8 que l'on peut permuter = 8C4 *4!=8!/(4!*4!)*4!=1680 mots (en distinguant les E)

b) Calculer la probabilité de chacun des événements :

- « Le mot formé est PISE »

Sur 1680 possibilités de mots on ne peut former que PISE ou PISE donc la probabilité est de 2/1680=1/840

c- « La lettre E figure dans le mot »

Le nombre de mots de 4 lettres ne contenant pas le E vaut 6C4*4!=6!/(4!*2!)*4!=360

Le nombre de mot qui contient E ou EE vaut donc 1680-360=1320 et la probabilité que le mot contienne la lettre E (un ou deux E) vaut 1320/1680=11/14

d- « Le mot commence par la lettre E »

La probabilité d'avoir E en première position vaut 2/8=1/4

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Pour le second exo.... c'est sans totale garantie pour la question 3 car les dénombrement ne sont pas ma tasse de thé....