Bzzr Posté(e) le 14 janvier 2012 Signaler Posté(e) le 14 janvier 2012 Bonjour, j'ai un exercice sur les équations différentielles, je suis en plein dans les probas et je ne comprend pas grand chose, pouvez vous m'aider svp ! Merci ! Partie A Soit (E) l’équation différentielle : y’ = 2y + 4x 1°) Soit et h la fonction définie sur R par : h(x) = –2x – 1 a) Vérifier que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E) sur R. b) Démontrer qu’une fonction f = g + h est solution de (E1) sur R si et seulement si g est solution de : (Eo) : y’ = 2y sur R. 2°) a) Déterminer les solutions g de l’équation différentielle (Eo) sur R. b) En déduire les solutions f de (E) sur R. 3°) Déterminer la solution de (E) sur R vérifiant f(0) = 0. Partie B Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = e2x- 2x – 1 et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1°) a) Déterminer les limites de f en –¥ et en +¥. b) Démontrer que la droite d’équation y = –2x – 1 est asymptote oblique à la courbe (Cf) et préciser la position de la courbe par rapport à son asymptote oblique. 2°) Etudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variation completsur R.(On ne demande pas le tracé de la courbe (Cf))
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 14 janvier 2012 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 janvier 2012 Partie A Soit (E) l’équation différentielle : y’ = 2y + 4x 1°) Soit et h la fonction définie sur R par : h(x) = –2x – 1 a) Vérifier que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E) sur R. ------------------- h'(x)=-2 ==> -2=2*(-2*x-1)-4*x et h(x) vérifie bien l'équation différentielle (E) ------------------- b) Démontrer qu’une fonction f = g + h est solution de (E1) sur R si et seulement si g est solution de : (Eo) : y’ = 2y sur R. ------------------- si f=g+h est solution de (E) alors g'+h'=2*g+2*h+4*x h'=-2 et h=-2*x-1 ==> g'-2=2*g-4*x-2+4*x ==> g'=2*g ==> g est solution de : (Eo) : y’ = 2y sur R ------------------- 2°) a) Déterminer les solutions g de l’équation différentielle (Eo) sur R. ------------------- g'/g=2 ==> g=k*exp(2*x) ------------------- b) En déduire les solutions f de (E) sur R. ------------------- f(x)=g(x)+h(x)=k*exp(2*x)-2*x-1 ------------------- 3°) Déterminer la solution de (E) sur R vérifiant f(0) = 0. ------------------- La solution de (E) sur R vérifiant f(0)=0 est : f(0)=k-1=0 ==> k=1 ==> f(x)=exp(2*x)-2*x-1 ------------------- Partie B Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = e2x- 2x – 1 et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 1°) a) Déterminer les limites de f en –¥ et en +¥. ------------------- x-> ∞ alors exp(2*x) >> -2*x-1 et lim f(x)=lim exp(2*x) -> ∞ x->- ∞ alors exp(2*x) << -2*x-1 et lim f(x)=-2*x-1 -> ∞ La droite y=-2*x-1 est asymptote au graphe de f(x) ------------------- b) Démontrer que la droite d’équation y = –2x – 1 est asymptote oblique à la courbe (Cf) et préciser la position de la courbe par rapport à son asymptote oblique. ------------------- f(x)-(-2*x-1)=exp(2*x) >0 le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs supérieures ------------------- 2°) Etudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variation completsur R.(On ne demande pas le tracé de la courbe (Cf)) ------------------- f'(x)=2*(exp(2*x)-1) s'annule en x=1 x..............-∞....................0..................∞ f'(x)....................(-).........(0).....(+)........ f(x)..........∞..decrois........Min...crois....∞ -------------------
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