Raisonnement Par Recurrence Ts

[francette]

Bonjour,J'ai un problème en maths, sur un exercice

Matière / Classe: je suis en terminale S et mon exercice est sur la récurrence des suites

Énoncé de l'exercice: J'ai une suite x , avec x_n+1 = ((x_n²)+(7/4))/(2x_n)

avec x₀ = 7/4

Je dois démontrer après conjecture les variation et la convergence de x.

J'ai conjecturé que ma suite est décroissante et converge vers (7/4)

Pour la décroissance ,

j'ai mon initialisation car x₁= 11/8 a 7/4

donc je suppose (x_n+1) a xn

je vais démontrer x_n+2 x_n+1 mais la je n'arrive pas m'y retrouver , je me perds dans les calculs ... quelqu'un pourrait t'il m'aider svp ?

Merci

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Tu es sûre que c'est pas récurrence que tu dois faire, car c'est la voie la plus difficile pour cela. En plus, ton exercice est mal posé (recopie le sujet complètement pour être sûr par exemple de restriction de domaine).

Ton exercice est fondé sur l'algorithme de Héron qui permet de calculer la racine carrée d'un nombre (c'est comme ça que procède les calculatrices entre autre).

Sinon, ta rédaction n'est pas bonne. La propriété n'est pas clairement explicitée.

[francette]

oui s'est marqué , utiliser un raisonnement par recurrence

la question est : démontrer après conjecture et a l'aide d'un raisonnement par recurrence les variations de x "

Je n'ai rien de plus :s

[Boltzmann_Solver]

OK. Je vais t'expliquer mais tu vas devoir t'accrocher.

L'idée ici est d'utiliser la stabilité de la suite, c'est à dire que l'image de la suite est toujours inclue dans un intervalle.

Pour tout n de N, on peut écrire que x_{n+1}-x_n = (7/4-x_n^2)/(2*x_n) = (7/4-x_n^2)/(2*x_n).

On a un quotient de deux termes. Le numérateur est (7/4-x_n^2) et le dénominateur est (2*x_n). On va monter que le numérateur est négatif et de dénominateur est positif pour tout n de N si x0 = 7/4. Pour ça, il faut arriver à montrer que la propriété Pn : pour tout n de N, x_n > sqrt(7/4) si x0 = 7/4.

Initialisation : a t-on P0 vraie ?

x1 = ((7/4)²+7/4)/(2*7/4) = (7/4+1)/2 = 11/8.

Or, x0 = 7/4 = 14/8.

Comme 11 < 14,

=> 11/8 < 14/8

=> x1 < x0.

Donc, P0 est vraie.

Hérédité : a t-on Pn+1 vraie si Pn vraie.

Là, on étudie l'extension dans R de f(x) = (x²+7/4)/(2x).

f'(x) = ((2x)²-2(x²+7/4))/((2x)²) = 2(x²-7/4)/(2x)²

Avec le TVI, tu peux écrire que si Pn vraie, alors Pn+1 vraie. (A rédiger)

Conclusion : pour tout n de N, Pn est vraie.

A partir de là, tu as x_{n+1} - x_{n} = (xn²+7/4)/(2xn) - xn = (-xn²+7/4)/(2xn). Or, on a montré que pour tout n de N, xn > sqrt(7/4).

En conclusion, on a montré que la suite (xn)ndansN était décroissante.

PS : je ne t'ai pas rédigé ton exo complètement. Mais, tu as les grandes lignes. A toi de faire le travail de compréhension et de rédaction.

[francette]

Merci ! donc je fais le debut par recurrence et apres je passe en raisonnement x_n+1 - x_n ?

merci

[Boltzmann_Solver]

Oui, la récurrence sert à déterminer le signe de x_{n+1} - x_n.

Je t'en prie.