Dm Terminale S

[Bzzr]

Bonjour, j'ai un DM sur les fonctions exponentielles, et je ne comprend strictement rien. Pouvez vous m'aider svp ? Merci

Voici les 3 exercies :

[Barbidoux]

Exo2

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f(z)=z^3+(3-i)*z^2+(4-3*i)*z-4*i

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f(i)=-i-(3-i)+(4-3*i)*i-4*i=-3+4*i-3*i^2-4*i=0 ==> i est solution de f(z)

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f(z)=z^3+(3-i)*z^2+(4-3*i)*z-4*i =z^3+3*z^2-i*(z^2+3*z+4)

f(z) peut se mettre sous la forme de f(z)=(z-i)*(z^2+b*z+4)

par identification b=3 et f(z)=(z-i)*(z^2+3*z+4)

Les solution de z^2+3*z+4 sont z1=(-3+i*√(7))/2 et z2=(-3-i*√(7))/2 et donc les solutions de f(z) sont i, (-3+i*√(7))/2 et (-3-i*√(7))/2

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Exo 3

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y'+3*y=0 ==> y'/y=-3 ==> y=k*exp(-3*x)

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2*y'=5*y ==> y'/y=5/2 ==> y=k*exp(5*x/2)

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2*y'+y=3 ==> équation homogène ==> 2*y'+y=0 ==> y=k*exp(-x/2) et solution générale > y=k*exp(-x/2)+3

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2*y'+5*y-4=0==> (2/5)*y'+y=4/5 ==> équation homogène ==> (2/5)*y'+y=0 ==> y=k*exp(-5*x/2) et solution générale > y=k*exp(-5*x/2)+4/5

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-2*y'+y=5 ==> équation homogène ==> -2*y'+y=0 ==> y=k*exp(x/2) et solution générale > y=k*exp(-x/2)+5

y[0]=1 ==> k=-4 ==> y= -4*k*exp(-x/2)+5

[Barbidoux]

Exercice 1

A-------------------------

f(x)=x-1+(x^2+2)*exp(-x)

1--------

g(x)=1-(x^2-2*x+2)*exp(-x)

Lorsque x-> ∞ alors f(x) ->1 car (x^2>>-2*x+2) ==> lim g(x)=lim (1-x^2/exp(x)) -> 1 car x^2/exp(x) -> 0 lorsque x-> ∞

Lorsque x-> -∞ alors x^2>> -2*x+2 et x^2*exp(-x) >>1 ==> lim(f(x)= lim (-x^2*exp(-x))--∞

2--------

g'(x)=(x^2-2*x+2)*exp(-x)-(2*x-2)*exp(-x)=(x-2)^2*exp(-x)>0 qq soit x ce qui montre que g(x) est croissante sur son intervalle de définition.

3--------

La fonction étant croissante et telle que g(0)=-1 et g(1)=1-1/e=0.632 son graphe coupe l'axe des x en un seul point a dont l'abscisse, qui appartient à [0,1], est la solution unique solution de g(x)=0.

g[0.35]=-0.00241 et g[0.36]=0.0166 ==> 0.35<a<0.36

4--------

x.......(-∞)..................a.....................(∞)

g(x)...(-∞).......(-)......(0).......(+)........(1)

B-------------------------

1--------

f(x)=x-1+(x^2+2)*exp(-x)

Lorsque x-> ∞ alors f(x) ->∞ car x-> ∞ et (x^2+2)*exp(-x)->0

Lorsque x-> -∞ alors x^2>> 2 et x>>1 ==> lim(f(x)= lim x*(1+x*exp(-x))=lim(x^2*exp(-x)=∞ (car 1<< x*exp(-x))

2--------

f'(x)=1-(x^2-2*x+2)*exp(x)=g(x)

x......(-∞)...................(a).................(∞)

g(x)..(-∞).......(-)........(0).......(+).....(∞)

f(x)...(∞)...decrois......Min...crois.......(∞)

3--------

f(a)=a-1+(a^2+2)*exp(-a)

a est solution de g(x) donc g(a)=1-(a^2-2*a+2)*exp(-a)=0 ==> (a^2+2)*exp(-a)=1+2*a*exp(-a). cette expression reporté dans celle de f(a) conduit à f(a)=a-1+(a^2+2)*exp(-a)=a-1+1+2*a*exp(-a)=a+2*a*exp(-a)=a*(1+2*exp(-a))

f(0.35)=0.843 et f(0.36)=0.862

4--------

Lorsque x-> ∞ alors (x^2+2)*exp(-x)->0 et lim f(x)=lim (x-1) -> ∞. La droite y=x-1 est asymptote au graphe de f(x) et comme f(x)-(x-1)= (x^2+2)*exp(-x)->0^+ le graphe de f(x) tend vers celui de son asymptote par valeurs supérieures

5--------

y=f'(0)*x+f(0)=-x+1

6--------

[Bzzr]

Merci beaucoup Barbidoux !