Triangle Isocèle

[Lovation]

Bonjour, j'aimerais votre aide pour un exercice

ABC est un triangle isocèle en A de périmètre fixé égal à 400 m.

On pose BC=x

1)Démontrer que l'aire du triangle ABC, exprimée en m², est égale à 5x √{(400-2x)}

2)f est la fonction définie sur [0;200] par f(x)= 5x √ {(400-2x)}

a) Justifier que f est continue sur [0;200]

b) Montrer que f est dérivable sur [0;200] et calculer f'(x) sur cet intervalle.

c) Dresser le tableau de variation de f.

d) Discuter suivant les valeurs du réel positif k, le nombre de solutions de l'équation f(x)=k

3)Démontrer qu'il existe exactement deux triangles isocèles en A de périmètre 400 m et

d'aire 0,5 ha. Donner une valeur approchée au cm près des dimensions de ces triangles

P.S: c'est 5x, et pas 5 fois, et la racine carré comprend (400-2x) .

Merci d'avance, Bonne journée à vous tous!

[Denis CAMUS]

Bonjour,

1)Démontrer que l'aire du triangle ABC, exprimée en m², est égale à 5x √{(400-2x)

[Lovation]

Alors pour la 1 , j'ai fait :

A = 1/2 * AB * AH

A= 1/2 * x * √[25 (1 600 - 8x)]

A= 1/2 * x * √25 * √(1 600 - 8x)

A= 5/2 * x * √(1 600 - 8x)

A= 5 * x * √(1 600 - 8x)/2

A= 5 * x * √(1 600 - 8x)/√4

A= 5 * x * √[(1 600 - 8x)/4]

A= 5 * x * √(400 - 2x)

[Papy BERNIE]

Bonjour,

comme Denis Camus n'est pas connecté , je te réponds.

V=racine carrée

1) Tu as bon mais :

pour AH=V(40000-200x) dont tu es partie , tu pouvais faire ainsi aussi :

AH=V[100(400-2x)]=10V(400-2x)

Aire=AB*AH/2=(x/2)*10V(400-2x)=5x*V(400-2x)

f(x)=5xV(400-2x)

2)

a)

la fct linéaire u(x)=5x est continue sur l'ensemble des réels

La fct racine carrée est continue sur [0;+infini[

donc la fct v(x)=V(400-2x) est continue sur [0;200]

donc f(x) est continue comme produit de fcts continues sur [0;200].

b)

la fct linéaire u(x)=5x est dérivable sur l'ensemble des réels

La fct racine carrée est dérivable sur ]0;+inf[

donc la fct racine carrée v(x)=V(400-2x) est dérivable sur [0;+200[

Attention : la fct racine carrée n'est pas dérivable en zéro obtenu ici pour 400-2x=0 soit x=200.

Donc f(x) est dérivable sur [0;200[ comme produit de fcts dérivées.

Calcul de la dérivée f '(x) :

f est de la forme : uv avec :

u=5x donc u'=5

v=V(400-2x) donc v'=-2/[2V(400-2x)]=-1/V(400-2x)

car la dérivée de V(w) est : w'/2w et ici : w=400-2x donc w'=-2

f '(x)=5V(400-2x) - [5x/V(400-2x)]

On réduit au même déno :

f '(x)=[5(400-2x)-5x] / V(400-2x)]

f '(x)=(-15x+2000) / V(400-2x)

c)

f ' (x) est donc du signe du numé qui est > 0 pour x < 400/3

x------>0.......................400/3...........................200

f '(x)-->.........+................0.................-....................

f (x)-->0.........C...............?...............D................0

C : flèche vers le haut.

D : flèche vers le bas

[Papy BERNIE]

d)

Il faut calculer f(400/3).

On trouve après qq. calculs :

f(400/3)=(40000/3)*V(1/3) mais V(1/3)=(V3)/3 donc :

f(400/3)=(40000V3)/9 --->( ~ 7698 m²)

Si 0 << k < (40000V3)/3 , l'équa f(x)=k a 2 solutions ( la droite y=k coupe Cf en 2 points).

Si k=(40000V3)/3 , l'équa f(x)=k a 1 solution qui est x=400/3.

Si k > (40000V3)/3 , l'équa f(x)=k n'a pas de solution

Un graph non demandé pour mieux voir :

[Papy BERNIE]

3)

0.5 ha=5 000 m²

et 0 < 5000 < (40000V3)/3

donc on a bien 2 solutions comme il a été montré au 2) d)

On résout :

5xV(400-2x)=5000

Tu rentres ta fct dans ta calculatrice avec :

départ : 40

pas : 10

Tu as un 1er encadrement des racines :

50 < x₁ < 60 et 180 < x₂ < 190

Tu ne t'occupes que de x₁ avec :

départ : 50

pas : 1

Nouvel encadrement au mètre près mais il faut continuer jusqu'à 2 chiffres après la virgule pour arriver au cm !!

Je trouve x₁ ~ 59.70 m

On procède de la même manière pour x₂ .

Je trouve : x₂ ~ 185.46 m

Tu vérifies !!