beubeu Posté(e) le 10 novembre 2011 Signaler Posté(e) le 10 novembre 2011 Bonjour , j'ai quelque difficulté sur un exercice sur les fonctions exponentielle je succite donc votre aide Partie A : Soit la fonction g définie sur R par g(x) = e^x + x + 1 1) Calculer les limites de g en +infini et en - infini 2) Etudier les varations de g sur R 3) a) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet sur R une unique solution que l'on note alpha b) Donner un encadrement de alpha à 10^-2 près 4) En déduire le signe de g(x) sur R Partie B : Soit la fonction f définie par f(x)=xe^x/e^x + 1 . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O,i,j) 1) Justier que F est définie sur R 2) a) Déterminer la limite de f en - infini et interpréter graphiquement le résultat b) Calculer la limite de f en + infini c) Démontrer que la droite delta d'équation y = x est asymptote à C d) Etudier la position de C par rapport à delta 3) a) Justifier que f est dérivable sur R et vérifier que f'(x)=e^x(gx)/(e^x+1)² b) En déduire les variations de F sur R 4) a) Montrer que f(alpha)= alpha + 1 b) En déduire un encadrement de f(alpha) à 10^-1 près 5) a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 b) Etudier les positions de C par rapport à T Je vais vous montrer ce que j'ai fais, pour la Partie A tout va bien je bloque à la Partie B Partie A : 1) quand x-> + infini lim g(x)= + infini quand x-> - infini lim g(x)= - infini 2) g'(x)= e^x +1 g'(x) est positif sur R et g(x) est strictement croissante sur R 4) j'ai dis que : g(x) inférieur ou égale à 0 sur ]-infini ; alpha ] g(x) supérieur ou égale à 0 sur[alpha ; + infini [ Partie B : 1) e^x > 0 donc ne s'annule jamais en 0 donc définie sur R 2) a) quand x-> - infini lim f(x)= 0 , assymptote horizontale en - infini d'équation y=0 Par contre je bloque à partir de la 2)b je tombe sur une forme indéterminer que je n'arrive pas a enlever et apres je sais pas trop comment faire pour la 2) c , d et 4) a
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 10 novembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 10 novembre 2011 Soit la fonction g définie sur R par g(x) = e^x + x + 1 1) Calculer les limites de g en +infini et en - infini -------------------- Lorsque x-> -∞ alors g(x)=exp(-∞)-∞+1 -> -∞ Lorsque x-> ∞ alors g(x)=exp(∞)-∞+1 -> ∞ -------------------- 2) Etudier les varations de g sur R -------------------- g(x)=exp(x)+1 >0 qq qoit x donc fonction croissante -------------------- 3) a) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet sur R une unique solution que l'on note alpha -------------------- g(x) fonction croissante g(0)=2 et g(-2)=-0,865 ==> le graphe de g(x) coupe l'axe des abscisses en un point dont l'abscisse est solution de g(x)=0. -------------------- b) Donner un encadrement de alpha à 10^-2 près -------------------- La valeur de alpha est déterminée par dichotomie -1,278< alpha < -1.279 -------------------- 4) En déduire le signe de g(x) sur R ------------------- x.....................alpha..................... g(x).....(-).........(0)..........(+).......... ------------------- Partie B : Soit la fonction f définie par f(x)=xe^x/e^x + 1=x+1 ??? ne serais-ce pas plutôt f(x)=x*e^x/(e^x + 1) ???
beubeu Posté(e) le 10 novembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 10 novembre 2011 Merci barbidoux , mais la Partie A , je l'avais déjà faite (comme expliqué au dessus) , c'est la partie B que je bloque totalement Moi et les paranthése sa fais 2^^ Oui oui enfête c'est f(x)= (xe^x)/((e^x) + 1 )) en bas c'est "exp(x) +1 " désolé
beubeu Posté(e) le 10 novembre 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 10 novembre 2011 ? f(x)= (xe^x)/((e^x) + 1 )) en bas c'est "exp(x) +1 "
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 10 novembre 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 10 novembre 2011 Partie B : Soit la fonction f définie par f(x)=x*exp(x)/(exp(x) + 1) . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O,i,j) 1) Justier que F est définie sur R ----------------- exp(x)+1 et x*exp(x)>0 sont des fonction et définie sur R donc leur rapport est défini sur R ----------------- 2) a) Déterminer la limite de f en - infini et interpréter graphiquement le résultat b) Calculer la limite de f en + infini c) Démontrer que la droite delta d'équation y = x est asymptote à C d) Etudier la position de C par rapport à delta ---------------- Lorsque x-> - ∞ alors exp(x)<<1 et lim f(x)=x*exp(x)/(exp(x) + 1)=lim x*exp(x)/1=x -> 0. Lorsque x-> ∞ alors exp(x)>>1 et lim f(x)=x*exp(x)/(exp(x) + 1)=lim x*exp(x)/exp(x)=x -> ∞ et la droite y=x est asymptote au graphe de f(x). Comme f(x)-x=-x/(exp(x) + 1) ->0^(-) le graphe de f(x) tend vers celui de son asymptote par valeurs inférieures. ---------------- 3) a) Justifier que f est dérivable sur R et vérifier que f'(x)=e^x(gx)/(e^x+1)² ---------------- x*exp(x) étant dérivable et 1/(exp(x) + 1) aussi leur rapport l'est. f'(x)=exp(x)/(1 +exp(x)) - (x*exp(2x))/(1 + exp(x))^2 + (x*exp(x))/(1 +exp(x))=exp(x)*(exp(x)+x+1)/(1+exp(x))^2=exp(x)*g(x)/(exp(x)+1)^2 ---------------- b) En déduire les variations de F sur R x..................................alpha................................. f'(x).............(-)...............(0)...............(+)................ f(x)...........decrois.......Min...........crois.................. ----------------- 4) a) Montrer que f(alpha)= alpha + 1 ---------------- on pose alpha=a f(a)=a*exp(a)/(exp(a)+1) or a est solution de exp(x)+x+1 ==> exp(a)+a+1=0 ==> exp(a)=-(a+1) ==> f(a)=a+1 ---------------- b) En déduire un encadrement de f(alpha) à 10^-1 près ---------------- f(alpha)=a+1 ==> -0,278< f(a)<-0,279 ---------------- 5) a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 ---------------- La tangente T a pour équation y=f'(0)*x+f(0)=x/2 ---------------- b) Etudier les positions de C par rapport à T ---------------- f(x)-x/2=exp(x)/(1+exp(x)) -x/2=x*(exp(x)-1)/(2*(exp(x)+1) >0 qq soit x et le graphe de C est au dessus de celui de sa tangente pour toute valeur de x
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