Algèbre

[Sou]

Voici le début d'un exercice, pourriez -vous m'aider svp ? merci

E est l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 3. On désigne par f l'application qui à un polynôme P de E associe le polynôme f(P) défini par :

f(P) ( X) = P ( X+1) + P ( X)

1° Montrer que f est un endomorphisme de E

f : E → E

P → P( X+1) + P ( X)

Soient (P1, P2) € F^2

Soient ( a,b) € R^2

f ( aP1+ b P2) = P ( aP1+ b P2 + 1) + P ( aP1+ b P2)

= P a P1 + P b P2 + P + P a P1+ P b P 2

= a ( P*P1 + P P1) + b(P* P2+ P*P2 ) + P

JE sais que je dois trouver

= a f (P1) + b f (P2)

mais là il me manque des termes non ?

1. On note B la base usuelle de E constituée; dans cet ordre, des quatre polynômes 1, X , X^2 , X^3,

   Montrer que la matrice f dans la base B est ( 2 1 1 1

   0 2 2 3

   0 0 2 3

   0 0 0 2)

   j'ai beau cherché je ne trouve pas …

   j'ai constitué une matrice

   f ( 1) f ( X) f ( X^2) f ( X^3)

   ( 1

   X

   X^2

   ) X^3

   j'ai essayé de trouver pareil que dans la matrice donnée...

   J'ai donc remplacé successivement P par 1, X , X^2, X^3 et j'ai :

   f ( 1) = 1 ( X +1) + 1 ( X) = X +1 + X = 2X + 1

   f ( X) = X ( X + 1) + X X = X^2 + X + X^2 = 2 X^2 + X

   f ( X^2) = X^2 ( X + 1) + X^2 X = X^3 + X^2 + X^3 = 2 X^3 + X ^2

   f ( X^3) = X^3 ( X + 1) + X^3 X = X^4 + X^3 + X ^4 = 2 X ^4 + X ^3

   3) montrer que f est bijectif :

   La matrice f est triangulaire, elle n'admet aucun 0 sur sa diagonale : elle est donc bijective.

   4) Calculer l'inverse de f dans la matrice B.

   là aussi je rencontre des problèmes, j'ai calculé la matrice plusieurs fois à l'aide du pivot de Gauss.

   JE sais qu'à la fin je dois trouver

   ( -0.5 - 0.25 0 0. 125

   0 0.5 -0.5 0

   0 0 0.5 -0.75

   0 0 0 0.5)

   j'ai des problèmes de signes à la fin

   Ou par exemple j'ai tout bon sauf la première ligne avec un signe et le 0.125

   Mais je m'y repencherai

1. Soit P un élément de E défini par P ( X) = a0+ a1X + a2X^2 + a3 X^3

(a) expliciter en fonction des réels a0, a1, a2, a 3 le polynôme Q = f-1 (P)

Je comprends pas vraiment ? Je prends l'inverse de f et je multiplie par p ? et après système ?

Je vois pas trop

l'exercice n'est pas fini il reste encore 2 questions mais voilà

Merci beaucoup pour votre aide

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

1) C'est incomplet et très mal rédigé pour ne pas dire quasi faux. Je te rappelle qu'un endomorphisme est une application linéaire qui va de E dans E. Donc, me parler de F est un double non sens. Déjà, il n'est parlé nul part de F et surtout, si E !=F, c'est pas un endomorphisme. Ce qui m'amène à te dire ce qui manque. C'est de dire que E=Rn[X] et que si P€Rn[X], alors P(X+1)+P(X)€Rn[X] pour vérifier que "E=F". Pour montrer la linéarité, tu fais une confusion entre P et X, ce qui te fait faire des erreurs bêtes.

2) Comme tu l'as compris, il faut calculer pour tout k€[|0,3|], f(X^k). Pense au binôme de Newton ou bien développe gentiment car tes calculs sont faux. Pour k=0, on calcule f(1) = X^0[X+1] + X^0[X] = 1 + 1 = 2.

3) Si dim(E) = rg(f), alors d'après le théorème du rang, f est bijective car rg(f) = dim(E) assure la surjectivité et ker(f) = vide assure l'injectivité.

4) On verra après pour la recette de cuisine.

[Sou]

je ne comprends pas comment tu trouves f(1) = X^0[X+1] + X^0[X] = 1 + 1 = 2 ?

je pars du principe que P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ?

donc ce qui me donne pour P ( x+1) + P ( x ) =

x^3 ( 2a) + x^2 ( 2b+3a) + x ( 3a+ 2b+ 2c) + a + b + c + 2d

Après que dois-je remplacer par 1, X ,X^2 x ^3 ?

et même si je fais comme tu dis

il faut calculer pour tout k€[|0,3|], f(X^k)

Pour k=0, on calcule f(1) = X^0[X+1] + X^0[X] = 1 + 1 = 2.

Donc pour k = 1 on calcule f (2) = X^1 ( X+1) + X * X = 2X^2 + X ? et on est censés trouver 2X + 1 ?

Et si je continue comme ça j'ai des X^4!

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Quand j'écris X^0[X+1] = X^0o(X+1) = 1. C'est comme calculer f(x+1) et avec f(x) = 1.