Exercice Sur Les Fonction

[rédouanne]

bonjour

j'ai un exercice a faire mais je n'y arrive pas pouvez vous m'aidez svp.

Voici l'exercice:

On considère la fonction f définie sur R par:

f(x)= 2 racine carrée (1+x²) - x

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O,i,j).

1) Démontrer que pour tout réel x que:

racine carrée (1+x²) > x

racine carrée (1+x²) > - x

2 racine carrée (1+x²) > x

2) Sur R, g est la fonction définie par g(x)= 2x - racine carrée (1+x²)

a) Démontrer que la fonction g est croissante.

b) Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution réelle. En déduire le signe de g(x) sur R.

3) Grace a l'étude précédemment faite sur la fonction g, établir le tableau complet des variations de la,fonction f sur R.

4) Montrer que C admet deux asymptote D et D' d'équations respectives y=x et y= - 3x

5)Etudier la position relatives de C avec ses asymptotes.

6) Tracer C, D et D' , (2 cm comme unité graphique).

Merci

[Papy BERNIE]

Bonjour,

V=racine carrée . OK ?

1)

Montrons que :

V(1+x²) > x pour tout x.

Si x < 0 , c'est évident car le membre de gauche est > 0.

Si >=0 , on peut élever les 2 membres au carré sans pb :

1+x² > x²

ce qui est vérifié.

Donc :

V(1+x²) > x pour tout x.

Montrons que :

V(1+x²) > -x pour tout x.

Si x > 0 , alors le membre de droite est < 0 et celui de gauche > 0. Donc vérifié.

Si x < 0 , le membre de droite est > 0 donc on peut élever les 2 membres au carré sans pb :

1+x² > (-x)²

1+x² > x² qui est vérifié.

Donc :

V(1+x²) > -x pour tout x.

Montrons que :

2V(1+x²) > x

Si x < 0 , c'est évident car le membre de gauche est > 0.

Si >=0 , on peut élever les 2 membres au carré sans pb :

4(1+x²) > x²

4+4x² > x² qui est vérifié.

Donc :

2V(1+x²) > x pour tout x.

[Papy BERNIE]

2)

a)

La dérivée de Vu est : u'/2Vu.

Ici u=1+x² donc u'=2x

g '(x)=2 - [2x/2V(1+x²)]===>que tu arranges pour trouver après réduc au même déno :

g '(x)=[2V(1+x²)-x]/V(1+x²)

Le déno est tjrs > 0 . D'après la 1) le numé est > 0.

Donc g '(x) > 0.

Tu conclus.

b)

Limite en -infini :

g(x)=2x-V(1+x²)

g(x)=2x-V[x²(1/x²+1)]

On va sortir le x de sous la racine :

g(x)=2x-|x|V(1/x²+1)

Si x < 0 , alors |x|=-x

Donc , si x < 0 : g(x)=2x+xV(1/x²+1)

lim 2x=-inf

x-->-inf

lim xV(1/x²+1)=-inf

x-->-inf

Par somme :

lim g(x)=-inf

x-->-inf

Limite en +infini :

On a vu que :

g(x)=2x-|x|V(1/x²+1)

Si x > 0 , alors |x|=x

donc : g(x)=2x-xV(1/x+1)

g(x)=x[2-V(1/x²+1)]

lim [2-V(1/x²+1)]=1

x--->+inf

lim x=+inf

x-->+inf

Par produit :

lim g(x)=+infini

x-->+inf

La fct g(x) est continue et strictement croissante sur R avec limite en -infini qui est égale à -infini et limite en +infini qui est égale à +infini . D'après le Théorème des Valeurs Intermédiares(TVI) , il existe un unique réel "a" tel que g(a)=0

On peut calculer un encadrement au 1/10e de "a" avec la calculatrice . Ce n'est pas demandé !! Curieux !!

0.5 < a < 0.6

car g(0.5) ~ -0.12 et g(0.6) ~ 0.03

g (x) < 0 sur ]-inf ; a[ et g(x) > 0 sur ]a;+inf[

[Papy BERNIE]

3)

Tu calcules la dérivée de f . Après de rapides calculs , tu trouves :

f '(x)=[2x - V(1+x²)] / V(1+x²)

Le déno est > 0.

f '(x) est donc du signe du numé qui est la fct g(x) dont on a vu le signe en 2) b)

Tableau de varition de f :

x---------->-inf....................................a..........................................+inf

f '(x)---->

f(x)------>

Tu le fais seul.

Si tu veux chercher les limites :

lim f(x) en -inf :

f(x)=2|x|V(1/x²+1)-x

Ici x< 0 donc |x|=-x

et f(x)=-2xV(1/x²+1)-x

Par somme :

lim f(x)=+inf

x-->-inf

lim f(x) en +inf :

f(x)=2|x|V(1/x²+1)-x

Ici x > 0 donc |x|=x

et f(x)=2xV(1/x²+1)-x

f(x)=x[2V(1/x²+1)-1]

lim [2V(1/x²+1)-1]=1

x--->+inf

lim x=+inf

x-->+inf

Par produit :

lim f(x)=+inf

x-->+inf

[Papy BERNIE]

4)

Le graph montre que la droite y=x est asymptote en +inf et la droite y=-3x est asymptote en -inf.

OK ?

f(x)-x=2V(1+x²)-2x

lim [f(x)-x]=lim [2V(1+x²)-2x]=lim 2[|x|V(1/x²+1)-x]

x-->+inf

Quand x tend vers +inf , alors |x|=x donc :

lim [f(x)-x]=2[x(V(1/x²+1)-1)]

x-->+inf

lim V(1/x²+1)-1=V1-1=0

x-->+inf

Par produit :

lim [f(x)-x]=0

x-->+inf

ce qui prouve que la droite D d'équation : y=x est asymptote à Cf en +inf.

f(x)-(-3x)=2V(1+x²)-x+3x=2V(1+x²)+2x

lim [f(x)-(-3x)]=lim [2V(1+x²)+2x]=lim 2[ |x|*V(1/x²+1)+x]

x-->-inf

Ici , x < 0 donc |x]=-x

lim [f(x)-(-3x)]=lim 2[ -x*V(1/x²+1)+x]

x-->-inf

lim [f(x)-(-3x)]=lim 2x[ 1-V(1/x²+1)]

x-->-inf

lim [1-V(1/x²+1)]=1-V1=0

x-->-inf

Par produit :

lim [f(x)-(-3)]=0

x-->-inf

ce qui prouve que la droite D' d'équation : y=-3x est asymptote à Cf en -infini.

[Papy BERNIE]

5) Pour étudier la position de Cf par rapport à D , on étudie le signe de:

f(x)-x.

f(x)-x=2V(1+x²)-2x

f(x)-x=2[V(1+x²)-x]

On a vu en 1) que : V(1+x²) > x donc V(1+x²) -x > 0

donc :

f(x)-x >

donc f(x) > x

Donc Cf au-dessus de D.

Pour étudier la position de Cf par rapport à D', on étudie le signe de:

f(x)-(-3x)=2V(1+x²)+2x

f(x)-(-3)=2[V(1+x²)+x]

On a vu en 1) que : V(+x²) > - x donc que : V(1+x²)+x > 0

donc :

f(x)-(-3x) > 0

donc :

f(x) > -3x

Donc Cf au-dessus de D '.

6) Bonnes vacances !!

[rédouanne]

merci de votre aide