Polynome

malkafas · le 20 octobre 2011

Bonjour, quelqu'un pourra m'aider pour ce exercice qui m'a l'air très difficile ?

merci beaucoup

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elp · le 21 octobre 2011

Pn(x)=1+x+x^2/2!+x^3/3!+....x^n/n!

On calcule la dérivée:

P'n(x)=0+1+x+x^2/2!+.....x^(n-1)/(n-1)!=P(n-1)(x)

Si Pn(x) a une racine multiple a (dc au moins double) on a Pn(x)=(x-a)²Q(x)

P'n(x)=2(x-a)Q(x)+(x-a)²Q'(x)=(x-a)[2Q(x)+(x-a)Q'(x)]=(x-a)K(x) en posantK(x)= [2Q(x)+(x-a)Q'(x)]

et par conséquent P(n-1)(x)=(x-a)K(x)

Pn(x)-P(n-1)(x)=1+x+x^2/2!+...x^n/n!-[1+x+x^2/2!+.....x^(n-1)/(n-1)!]=x^n/n!

On a aussi Pn(x)-P(n-1)x=(x-a)²Q(x)-(x-a)K(x)=(x-a)[(x-a)Q(x)-K(x)]=(x-a)R(x) en posant R(x)=[(x-a)Q(x)-K(x)]

dc on a (x-a)R(x)=x^n/n!

Si x=a alors le 1er membre est nul mais pas le 2è dc Pn(x) n'a pas de racine multiple.

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