Exercice Fonctions Ts

[Bzzr]

Bonjour, j'ai un exo de fonctions dans un DM, et je suis vraiment mauvais dans ce domaine, quelqu'un pourrait t'il m'aider svp ? Merci

Voici l'exercie en photo pour une meilleure compréhension :

[Barbidoux]

1---------------------

f(x)=(2*x^3-3*x^2)/(x^2-2*x-3)

Le polynôme x^2-2*x-3 admet deux racines x=-1 et x=3 donc domaine de définition R\{1 et -3}

2---------------------

Division de polynôme

f(x)= (2*x^3-3*x^2)/(x^2-2*x-3) =2*x+1+(8*x + 3)/(x^2-2*x-3)

3---------------------

Lorsque x-> ∞ alors f(x)≈2*x+1 -> ∞ et y=2*x+1 est asymptote au graphe de f(x). Comme f(x)-y=(8*x + 3)/(x^2-2*x-3)≈ 8/x=0+ le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs supérieures

Lorsque x-> -∞ alors f(x)≈2*x+1 -> -∞ et y=2*x+1 est asymptote au graphe de f(x). Comme f(x)-y=(8*x + 3)/(x^2-2*x-3)≈ 8/x=0- le graphe de f(x) tend vers son asymptote par valeurs inférieures

4---------------------

Lorsque x-> -1+ alors f(x)=(2*x^3-3*x^2)/((x-1)*(x+3)))=-5/0+ -> -∞

Lorsque x-> -1- alors f(x)=(2*x^3-3*x^2)/((x-1)*(x+3)))=-5/0- -> ∞

asymptote verticale d'équation x=-1

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Lorsque x-> 3+ alors f(x)=(2*x^3-3*x^2)/((x-1)*(x+3)))=27/0+ -> ∞

Lorsque x->3- alors f(x)=(2*x^3-3*x^2)/((x-1)*(x+3)))=27/0- -> -∞

asymptote verticale d'équation x=3

5---------------------

f'(x)=(6 x^2 + 6 x)/(x^2 - 2 x - 3) - ((2 x - 2) (2 x^3 + 3 x^2))/(x^2 - 2 x - 3)^2=(2 x (x^3 - 4 x^2 - 12 x - 9))/(x^2 - 2 x - 3)^2

Le polynôme (x^3 - 4 x^2 - 12 x - 9) admet 1 comme racine donc se met sous la forme (x-1)*(x^2+b*x+9) en identifiant les termes de même degré on obtient b=-3 et

f'(x)=2*x*(x-1)*(x^2-3*x+9)/(x^2 - 2 x - 3)^2

6---------------------

Le polynôme (x^2-3*x+9) admet deux racines x=3*(1-√5)/2 et x=3*(1+√5)/2 et est du signe >0 à l'extérieur de ses racines

x.................................3*(1-√5)/2..................-1.................0....................1.....................3..........3*(1+√5)/2...........

2*x.................(-)..............................(-)......................(-).....(0).......(+).............(+)...............(+).......................(+).......

(x-1)..............(-)...............................(-).....................(-)..................(-).....(0)...(+)................(+)......................(+)........

(x^2-3*x+9)....(+)...............(0).........(-)......................(-)..................(-).............(-)................(-)...........(0)........(+).......

f'(x).................(+)..............(0)..........(-)...........||.........(-).......(0).......(+)....(0)....(-)........||....(-)..........(0)........(+)......

f(x)...............crois.............Max......decrois....||....decrois....Min....crois...Max..decrois.||..decrois...Min...crois.....

7---------------------

[Bzzr]

Merci beaucoup