Produits Scalaire 1S

[fangornne]

Bonjour j'ai deux exercice a faire sur mon livre mais je n'y arrive pas du tout (apparemment mon professeur a pour habitude de donnée des exercices avant de commencer le cours pour qu'on aille plus rapidement dans le programme)

Dans un repère orthonormée ( O, vect i , vect j) du plan, soient A(-3;5) et B(2;-1)

1. Déterminer une équation de la droite (D) médiatrice de [AB]

2. Déterminer une équation du cercle de diamètre [AB]

3. Détermner une équation de la tangente (T) en 1 au cercle de centre O et de rayon OA

4. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble des points de coordonnées (x;y) tels que :

x² + y² -2x +4y -4 = O

Et le second exercice :

ABCD est un rectangle.

AB = DC = 4 cm

AD = BC = 3 cm

DI = 1 cm et donc IC = 3cm

On forme le triangle AIB.

1.Démontrer que : vect(IA)x vect(IB) = vect (ID) x vect(IC) + DA²

2. En déduire que cos AIB = 1/racine 5

Et en déduire la mesure en degrés de AIB a 0,1 près

3. En utilisant le point I, déterminer l'ensemble (E) des points M tels que :

MC² + 3MD² = 28

Merci de votre aide

[Papy BERNIE]

Bonjour,

exo 1 :

1) Tu calcules les coordonnées du milieu M de [AB].

M(-1/2;2)

Soit P(x;y) un point de la médiatrice de [AB].

Vect MP(x+1/2;y-2)

Vect AB(5;-6)

2 vect u(x;y) et v(x';y') sont orthogonaux si xx'+yy'=0

ce qui donne ici :

y=-(5/2)x+3/2--->équa réduite de la médiatrice.

2) Tu calcules son rayon R² donc MA² .

R²=15.25

Un cercle de centre P(a;b) et de rayon R a pour équa :

(x-a)²+(y-b)=R²

Ici :

(x+1/2)²+(y-2)²=15.25

que tu développes si tu veux.

3)

Soit N(1;y) le point de tangene.

ON²=OA²=34

Mais ON²=1²+y²

donc 1+y²=34

y²=33

y=-V33 ou y=+V33-->V=racine carrée

Donc 2 points de tangence d'abscisse 1 :

N(1;V33) et N'(1;-V33)

vect ON(1;V33)

Soit Q(x;y) un point de T :

vect NQ(x-1;y-V33)

Les vect ON et NQ sont orthogonaux donc :

(x-1)+V33(y-V33)=0

x-1+V33y-33=0

Equa de T : y=-x/V33 + 34/V33

La technique est la même pour la tgte en N'.

4)

x² + y² -2x +4y -4 = O

donne :

x²-2x+y²+4y-4=0

(x-1)²-1+(y+2)²-4-4=0

(x-1)²+(y-1)²=9

Tu reconnais un cercle de centre (..;..) et de rayon ...

[Papy BERNIE]

Exo 2 :

1) En vecteurs :

IA.IB=(ID+DA)(IC+CB)

Tu développes . Tu sais que le produit de 2 vect. orthogonaux est nul.

A la fin , il te reste :

IA.IB=ID.IC+DA.CB mais DA.CB=DA²

donc ...

2) en mesures :

IA=V10

IB=V18=3V2

Produit scalaire : IA.IB=V10*3V2*cos AIB=6V5*cos AIB

donc d'après 1) :

6V5*cos AIB=ID.IC+DA² mais ID.IC=-3 et DA²=9

donc :

6V5*cos AIB=6

donc :

cos AIB=...

angle AIB = 63.4° au 1/10e près.

3)

La relation peut s'écrire ( en vecteurs) :

(MI+IC)²+3(MI+ID)²=28

Tu développes et après avoir remarqué que IC²=9 et ID²=1 donc 3ID²=3 et avoir mis MI en facteur qq. part, tu arrives à :

4MI²+MI(2IC+6ID)=16

Mais : IC=-3ID donc il te reste :

4MI²=16

soit , en mesure, MI=...

L'ensemble (E) est le cercle de centre I et de rayon 4 cm.

[fangornne]

Merci beaucoup pour ton aide, le seul soucis est sur la derniere question de l'exercice 2 je n'ai pas fait pareille que vous et je ne trouve pas la meme réponse voici ce que j'ai fait :

(MI.IC)² + 3(MI.ID)² = 28

Je développe donc :

MI² + 2MI.IC + IC² + 3MI² + 6MI.ID + ID² = 28

Je met MI en facteur donc :

4MI² + 2MI(IC+3ID) + IC² + ID² = 28

IC² = 9

ID² = 1 Donc IC²+ID² = 10

Ce qui nous donne :

4MI² + 2MI(IC+3ID) + 10 = 28

IC + 3 ID = 3-3 = 0 donc sa s'annule, il nous reste donc :

4MI² + 10 = 28

4MI² = 18

MI² = 18/4 = 9/2

MI = Racine de 9/2

Le problème est que vous trouver 4MI² = 16 et moi 4MI² = 18, ais-je fait une erreur ou c'est vous ? car j'ai beau vérifier mon calcul et le vôtre je n'arrive pas a savoir lequel a tord ....

Merci beaucoup