Statistiques

[clemgym]

Bonjour, j'ai actuellement un soucis avec cette exercice sur les statistiques :

18 candidats se présentent à un concours où ils se répartissent entre 3 examinateurs A, B, C, chacun interrogeant 6 candidats.

Le tableau suivant indique les notes attribuées par les 3 examinateurs à chacun des candidats qu'ils ont vu.

1) Calculer la moyenne M et l'écart type S de la série des 18 notes. Donner les résultats à 10^-1 près.

2) Calculer les moyennes m_a, m_b, m_c et les écarts types s_a,s_b,s_c des 3 séries de 6 notes attribuées par les examinateurs A,B, C

3)Dans le but d'harmoniser les notes, chaque examinateur doit modifier ses notes par une transformation affine du type x->ax+b

où a est un réel positif. Pour chacun des 3 examinateurs, calculer les coefficients a et b pour que sa série de

notes ait comme moyenne M et comme écart type S.

4) Remplir le tableau ci-dessous avec les notes modifiées. (valeurs approchées à 10^-1 près)

Merci à vous !!

[Barbidoux]

18 candidats se présentent à un concours où ils se répartissent entre 3 examinateurs A, B, C, chacun interrogeant 6 candidats.

Le tableau suivant indique les notes attribuées par les 3 examinateurs à chacun des candidats qu'ils ont vu.

1) Calculer la moyenne M et l'écart type S de la série des 18 notes. Donner les résultats à 10-1 près.

x_i= note de rang i

x_Xi= note de rang i de l'examinateur X

M=(1/n)*somme i=1 à n de (x_i)

ecart type s = √variance=(1/n)√(Somme i=1 à n de (x_i-M)^2)

2) Calculer les moyennes ma, mb, mc et les écarts types sa,sb,sc des 3 séries de 6 notes attribuées par les examinateurs A,B, C

M_X=(1/n_X)*somme i=1 à n_X de (x_Xi)

ecart type sigma = √variance=(1/n)√(Somme i=1 à n de (x_Xi-M_X)^2)

3)Dans le but d'harmoniser les notes, chaque examinateur doit modifier ses notes par une transformation affine du type x->ax+b

où a est un réel positif. Pour chacun des 3 examinateurs, calculer les coefficients a et b pour que sa série de

notes ait comme moyenne M et comme écart type S.

X= A, B ou C

On utilise :

variance (a*x+b)=a^2 variance (x) ==> s=√variance(a*x+b)=a*√variance (x) ==> a=s/√variance (x)

--------------------

a_X=s/√variance (x_X)

m_Xi=(1/n)somme i=1 à n de (a*n_Xi+b)=m ==>b=n*m_X-somme i=1 à n de (a*x_Xi)

4) Remplir le tableau ci-dessous avec les notes modifiées. (valeurs approchées à 10-1 près)

[clemgym]

Salut à toi !

Je n'est pas compris pour les réponses suivantes :

ecart type s = √variance=(1/n)√(Somme i=1 à n de (x_i-M)^2)

ecart type sigma = √variance=(1/n)√(Somme i=1 à n de (x_Xi-M_X)^2)

C'est le mot "variance" que je ne comprend pas...

Pour les deux dernières réponses, je ne comprend pas non plus, même si il n'as rien à comprendre...

Merci à toi !

[Barbidoux]

Il y a une petite faute de frappe dans une des relations utilisées il faut lire

ecart type s = √variance=(1/√n)√(Somme i=1 à n de (x_i-M)^2)

Ceci dit, je en sais pas ce que tu as étudié en cours.... mais au vu de l'énoncé tu as du entendre parler de la moyenne d'une variable, sa variance et l'écart type qui lui correspond, cela au moins dans le cas d'une loi normale de répartition de valeurs, puisque cet exercice est une simple application de ces définition et des relations qui en découlent . Je vois mal comment on peut faire cet exo sans connaître ces relations....

[clemgym]

Oui, j'ai déjà vu la variance, mais c'est ce que je n'ai pas compris.

Quand tu dit 1/n, c'est 1/6 ? "Somme i=1 à n de (x_i-M)^2)" Ça veut dire quoi ça ?

Merci

[Barbidoux]

En statistiques, deux estimateurs de l'écart type sont généralement utilisés. Ces estimateurs sont simplement obtenus en prenant la racine des estimateurs de la variance, étant donné que l'écart-type est juste la racine carrée de la variance. Pour ces calculs j'ai utilisé l'Écart type empirique corrigé :

S=√ somme de 1 à n de (xi-M)^2/(n-1) où somme de 1 à n de (xi-M)^2/(n-1) est la variance M la moyenne.

lorsque la moyenne est une estimation, c'est-à-dire que sa valeur exacte est inconnue et que l'on accède qu'à la moyenne des valeurs enregistrées.

Ce qui donne, par exemple, pour l'examinateur A

moyenne=(13+17+5+8+5+12)/6=10

Variance= ((13-10)^2+(17-10)^2+(5-10)^2+(8-10)^2+(5-10)^2+(12-10)^2)/5=23,2

écart type =√(variance)=4,82

[clemgym]

Merci, l'exemple m'as beaucoup aidé.

A+

[clemgym]

Je n'ai pas compris le 3. STP

Merci

[Barbidoux]

Il te faut calculer la variance et la moyenne de chaque examinateur ainsi que la moyenne et la variance globale ce qui donne la première partie du tableau joint.

Par soucis d'homogénéisation des notes on veut que la moyenne de chaque examinateur et son écart type soient identiques à l'écart type et la moyenne générale. Pour cela on aplique une relation affine de type a*x+b aux notes de chaque examinateur.

Sachant que : variance (a*x+b)=a^2 variance (x) ==> s=√variance(a*x+b)=a*√variance (x) ==> a=s/√variance (x)

m_Xi=(1/n)somme i=1 à n de (a*n_Xi+b)=m ==>b=m-mA

on en déduit pour l'examinateur A par exemple

a=variange gérérale/variance de l'examinateur=5/4,82=1,037

b=moyenne générale-a*moyenne examinateur =9,83-1,037*10=-0,54

Ensuite les notes de l'examinateur A sont re-caculée en utilisant la relation y=a*x+b ou la valeur de x correspond à l'ancienne note et y à la nouvelle note (après homogénéisation).

On procède de même pour les examinateurs B et C. On vérifie alors que la moyenne (et son écart type) des notes de chaque examinateur est bien égale à la moyenne générale (et son écart type).

[clemgym]

Désolé, mais je ne comprend toujours rien....

variance (a*x+b)=a^2 variance (x) ==> s=√variance(a*x+b)=a*√variance (x) ==> a=s/√variance (x) m_Xi=(1/n)somme i=1 à n de (a*n_Xi+b)=m ==>b=m-mA

[Barbidoux]

Désolé, mais je ne comprend toujours rien....

variance (a*x+b)=a^2 variance (x) ==> s=√variance(a*x+b)=a*√variance (x) ==> a=s/√variance (x) m_Xi=(1/n)somme i=1 à n de (a*n_Xi+b)=m ==>b=m-mA

[clemgym]

Désolé mais là je comprend vraiment rien du tout...

Toutes ces formules là...trop dur

[clemgym]

UP !

Merci =)

[clemgym]

UP ! Stp barbidoux... =)

[Barbidoux]

désolé mais il n'y a pas plus simple. C'est l'utilisation de deux relations du cours.....

ecart type de (a*x+b)= a*écart type de x

moyenne de (a*x+b)= a*moyenne de x+b

On écrit que l'on veut pour chaque examinateur :

- que l'écart type des notes corrigées soit égal à l'écart type général ==>ecart type de (a*x+b)= a*écart type de x=écart type général ==> a=écart type général/écart type de x

ce qui permet de calculer la valeur du coefficient a de la relation y=a*x+b utilisée pour corriger les notes de l'examinateur

- que l'a moyenne des notes corrigées soit égale à la maoyenne général ce qui permet de calculer la valeur du coefficient b de la relation y=a*x+b utilisée pour corriger les notes de l'examinateur.

Une fois que l'on a calculé ces coefficients on peut alors corriger les notes de chaque examinateur.... ce que j'ai fait sur l'exemple de l'examinateur A dans un précédent message.

[clemgym]

Merci de ta réponse,

donc :

ecart type de (a*x+b)= a*écart type de x+b ?

moyenne de (a*x+b)= a*moyenne de x+b

Non, mais sérieux, je comprend rien du tout...

Donc, si je reprend dans un des messages :

a=variange gérérale/variance de l'examinateur=5/4,82=1,037

b=moyenne générale-a*moyenne examinateur =9,83-1,037*10=-0,54

Bon en relisant plusieurs fois, je viens de comprendre un petit peu, sauf que sur mes résultats de moyenne je n'est pas 9.83 pour la moyenne générale, mais 9.5, c'est grave ?

Prenons l'exemple du A :

écart type de (a*x+b) = 1.037*4.82+(-0.54) ???

Sérieusement, je ne pense pas que ce soit ça, mais bon...

Peux-tu me dire les calculs à faire STP ?

Merci à toi ! =)

[Barbidoux]

Non !!!! ecart type de (a*x+b)= a*écart type de x, cela ne se comprends pas cela se démontre et je t'ai fait la démonstration.... que tu as vue (ou que tu aurais du voir) en cours.... cela ne s'invente pas.

Je répète : l'examinateur A a une moyenne de note égale à 10 avec un écart type de 4,82 on veut modifier ses note en utilisant une relation de type a*x+b ou x représente ses notes pour que que sa moyenne soit égale à la moyenne générale (9,83) et l'écart type de ses notes égal à l'écart type général (5,00).

On sait que : écart type de (a*x+b)= a*écart type de x donc :

on écrit que écart type général =5= ecart type de (a*x+b)= a*écart type des notes de l'examinateur A soit 4,82 ==> a=5/4,82=1,037.

b=moyenne générale-a*moyenne examinateur =9,83-1,037*10=-0,54

Donc la relation affine qui correspond aux modification des notes de l'examinateur A est donc 1,037*x-0,54 ce qui transforme les notes en :

13 ==> 13*1,037-0,54=12,9

17 ==> 17*1,037-0,54=17,1

etc.....

Pour vérifier que tout cela est correct il suffit de calculer la moyenne des nouvelles notes (on obtiendra 9,83) et l'écart types de ses nouvelles notes (on obtiendra 5) ce que j'ai fait à titre de vérification dans le tableau joint à un de mes précédents messages.

Même type de raisonnement en ce qui concerne les notes des autres examinateurs

[clemgym]

Merci Barbidoux,

Je vais lire plus en détail et je te dit si j'ai encore un soucis !!!

Merci A+ =)

EDIT : Pour le moment, ça va j'ai compris ! Merci à toi !!!!

[Missvictoria]

Bonjour Barbidoux,

Je sais que ce topic date de l'année dernière mais je voulais savoir pk vous avez divisé par 5 pour trouver l'écart-type pour l'examinateur A, B et C et non par 6 (6 notes par examinateur) ?

[Barbidoux]

Cela dépend de la relation que l'on utilise pour le calcul de l'estimateur de l'écart type (j'ai utilisé S_n-1). Voir le paragraphe estimateurs sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Écart_type