Aide Dm De Maths De Première

[chocali]

Bonjour j'aimerais que l'on m'aide pour mon dm de math :

Exercice 1 : Une urne content n jetons, dont 7 bleus et les autres sont jaunes (n est un entier naturel supérieur ou égal à 7). On prélève successivement et sans remise deux jetons de l'urne.

1. Dans cette question, on suppose que n=10.

a) Faire un arbre pour représenter les issues possibles (On notera B pour un jeton bleu et J pour un jeton jaune. On pourra faire des pointillés et ne pas compléter l'arbre entier).

b) Déterminer le nombre total d'issues de l'expérience

17*16 = 272

c) Calculer les probabilités des évènements suivants (résultats sous forme de fractions irréductibles) :

- A : "Le premier jeton est bleu et le deuxième est jaune"

P(A) = 70/272 = 35/136

-B : "Un jeton est bleu et l'autre est jaune"

P(B) = 140/272 = 35/68

-C : "Les deux jetons sont bleus"

P© = 42/272 = 21/136

-D: "Les deux jetons sont de la même couleur"

P(D) = 132/272 = 33/68

2. Dans cette question, n désigne un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 8. On appelle p_n la probabilité que les deux jetons tirés soient de couleurs différentes.

-Déterminer le nombre total d'issues de cette expérience en fonction de n.

(7+n)*(7+(n-1)) = 49+7n-7+7n+n²-n = n²+13n+42

-Montrer que p_n = 14(n-7) / n²-n

3. a) Calculer la dérivée de la fonction f défénie par f(x) = 14(x-7) / x²-x sur ]1;+infinie[ et montrer que f ' (x) = -14x² +196x-98 / (x²-x)²

f ' (x) = 14(x²-x)-14(x-7)(2x-1) / (x²-x)²

= 14x²-14x-28x²+14x+196x-98 / (x²-x)²

= -14x²+196x-98 / (x²-x)²

b) Etudier les variations de f.

c) Déterminer l'entier naturel n pour lequel la probabilité p_n est maximale. Préciser la valeur p_n correspondante.

Exercice 2 : On cosidère le repère orthonormmal (O;i;j).

On considère les points A(4; TT/6) et G(1; TT/6) dans le repaire polaire (O;i).

Soit B le point de (O;i;j), image de A par la rotation de centre G et d'angle 2TT/3 ,

et C le point de (O;i;j), image de A par la rotation de centre G et d'angle -2TT/3.

On obtient ainsi le triangle équilatéral ABC de centre de gravité G.

1. Faire une figure.

2. Déterminer les coordonnées cartésiennes de A et de G dans (O;i;j).

On suppose avoir montrer que C(sqrt (3) /2 ; -5/2) dans (O;i;j).

3. En exprimant G comme barycentre de A, B et C dont les poids sont à déterminer, montrer que B(-sqrt(3) ; 2) dans (O;i;j).

4. a) Montrer que O est le barycentre de {(B;b);(C;c);(G;g)} avec b; c et g des rééls tels que a+b+g = 3 est équivalent au système :

-2b+c+g = 0

4b-5c+g = 0

b+c+g = 3

b) Résoudre ce système et déterminer b, c et g.

5. Que peut-on dire de O pour le triangle BCG ?

Merci beaucoup à tous ceux qui pourront m'aider.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour Chocali,

Je ne t'aiderai qu'en proba car je suis, je crois le plus à l'aise pour cette discipline sur le forum. Je laisse la suite aux autres contributeurs.

Par contre, tes réponses n'ont aucun sens. Aucune phrase. Aucune justification, tu me dirais la tête à toto que tu serais aussi crédible (enfin, je peux te dire que tu as tout faux à cause d'une erreur de français mais ça ne servira à rien tant que tu ne m'auras pas détaillé correctement ta pensée).

Si tu as vu les arbres pondérés, tu peux te simplifier la vie mais vu comme le sujet est tourné, on s'attend à ce que tu utilises un arbre équiprobable qui sera long et chiant à faire. A toi de ma le dire pour ça.

[chocali]

Merci beaucoup, j'ai remarqué mon erreur :

1. (b) 10*9=90 issues total car 10 jetons au premier tirage et 9 au deuxième.

© P(A)= 7*3/90=21/90=7/30 (7jetons bleus et 3 jaunes)

P(B)=(7*3+3*7)/90=42/90=7/15 (7 jetons bleus au premier tirage et 3 jaunes au deuxième plus 3 jetons jaunes et 7 jetons bleus)

P©=(7*6)/90=42/90=7/15 (7 jetons bleus au premier tirage puis 6 au deuxième)

P(D)=(7*6+3*2)/90=48/90=8/15 (7 jetons bleus au premier tirage puis 6 au deuxième plus 3 jetons jaunes au premier tirage et 2 au deuxième)

2. (a) Le nombre total d'issues de l'expérience (en fonction de n) est : n*(n-1)=n²-n

(b) Pn=(7*(n-7)+(n-7)*7) / (n²-n) = (7n-42+7n-42) / (n²-n) = (14n-98) / (n²-n) = (14*(n-7)) / (n²-n)

3. (a) Déjà démontrer dans le premier commentaire.

(b)

x -infinie 1 +infinie

f ' (x) - +

f(x) décroissante croissante

Exercice 2 :

2. xa = 4*cos (TT/6) = 3.5

ya = 4* sin (TT/6) = 2

xg = cos (TT/6) = 0.87

yg = sin (TT/6) = 0.5

Pour le reste j'ai vraiment besoin d'aide.

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir Chocali,

En effet, tu as su corriger ton erreur de lecture. Concernant tes résultats, c'est juste et bien justifié dans l'ensemble à ceci près que la rédaction pèche un peu. Donc, vu le bon travail que tu as fait, je te propose une correction pour voir ce que tu peux améliorer au niveau rédaction. Bien entendu, je suis ouvert à toutes tes questions.

Ici, je pars du principe que les jetons sont discernables après le tirage mais que l'on s'intéresse qu'à la propriété couleur. Cette précision est du chipotage lié à la construction de l'arbre, mais pour le reste , ça ne change rien à la démarche.

1)a) Ici, je te propose de faire l'arbre pour le premier jeton jaune. Pour les autres jetons, il suffit de faire une permutation entre deux jetons des deux colonnes pour obtenir les autres.

b) Soit O, l'univers de l'expérience aléatoire associée aux tirages successifs sans remise de deux jetons dans l'urne à jetons discernables après tirage. Donc,

Card(O) = 10*9 = 90.

c) Soit X un événement de O. On suppose que touts les tirages sont équiprobables. Dans ce cas, on a,

P(X) = Card(X)/Card(O).

Or, A correspond à l'événement "Le premier jeton est bleu et le deuxième est jaune". Donc, Card(A) = 7*3 car il y a bien 7 jetons bleus accessibles lors du premier tirage et 3 jetons jeunes lors du second tirage.

Donc, P(A) = Card(A)/Card(O) = 7*3/(10*3²) = 7/30

Or, B correspond à l'événement "Un jeton est bleu et l'autre est jaune". Donc Card(B) = 7*3 + 3*7 = 2*3*7 = 42 car on peut tirer le jeton bleu lors du premier tirage ou lors du second tirage.

Donc, P(B) = Card(B)/Card(O) = 2*7*3/(10*3²) = 7/15

Or, C correspond à l'événement "Les deux jetons sont bleus". Donc, Card© = 7*6 car on a 7 jetons possibles lors du premier tirage et plus que 6 lors du second tirage.

Donc, P© = Card©/Card(O) = 6*7/90 = 7/17

Et enfin, D correspond à l'événement "Les deux jetons sont de la même couleur". Donc Card(D) = 7*6 + 3*2 = 6(7+1) = 48 car on peut tirer soit deux jetons bleus soit deux jetons jaunes.

Donc, P(D) = Card(D)/Card(O) = 6*8/(9*10) = 2*4/(3*5) = 8/15

2) On sait que l'on a n jetons. Donc, en considérant toujours les jetons comme discernables visuellement, on a Card(On) = n(n-1). Et que les situations sont équiprobables. On peut étudier la question.

Soit pn, la probabilité d'avoir deux jetons de couleurs différentes, événement noté Z. Donc Card(Z) = 7*(n-7) + (n-7)*7 = 14(n-7) pour la même raison que pour l'événement B.

Donc, pn = Card(Z)/Card(On) = 14(n-7)/(n²-n). CQFD.

3)a), f est une fonction définie, continue et dérivable sur ]1,+inf[ comme somme produit et quotient de fonctions définies et dérivales sur ce Df et dont le dénominateur ne s'annule pas. Donc, on peut calculer la dérivée,

f ' (x) = 14*((x²-x)-(x-7)(2x-1)) / (x²-x)²

= 14*(x²-x-2x²+x+14x-7) / (x²-x)²

= 14*(-x²+14x-7)/ (x²-x)²

Tu aurais pu factoriser le 14 dès le début et distribuer le 14 à la fin pour vérifier la formule, c'est plus facile comme ça ensuite.

b) Pour trouver les variations de f, il nous faut le signe de f' qui est donné par le numérateur car le dénominateur est un carré qui est forcément positif. Or, tu as un résultat de cours qui dit que pour un polynôme de second degré, tu as signe de a en dehors des racines et signe de -a à l'intérieur.

Donc, on recherche les racines de (-x²+14x-7).

Delta = 14² - 4*7 = 7*4(7-1) = 7*6*4 = (2*sqrt(6*7))² < 14² car 6 <7.

Donc, x1 = (-14-sqrt(Delta))/(-2) =7+sqrt(6*7)

et x2 = (-14+sqrt(Delta))/(-2) =7-sqrt(6*7)

c) Donc, en faisant le tableau de variation, tu trouveras que f(x) est maximale pour x= 7+sqrt(6*7) car c'est l'unique maximum pour x app à [7,+inf[.

Ensuite, tu sais que n est entier. Donc tu testes les entiers encadrant x1 pour savoir quel est le bon n.

Aller, je te laisse faire ça.