Dm Pour Lundi

[Jeanne1]

Bonjour,

Pour lundi, J'ai un DM à rendre, il me manque 2 exercices :

On souhaite montrer que le nombre √2 est un nombre irrationnel.

1) Pour cela, on va établir le préambule suivant :

Soit p est un entier naturel.

Si p² est pair, alors p est pair.

Si p² est impair, alors p est impair.

a) Montrer que si p est pair, alors p² est pair.

b)Montrer que si p est impair, alors p² est impair.

c) En déduire le résultat annocé.

2)Pour montrer que √2 est un nombre irrationnel, on va raisonner par l'absurde en suposant que √2 est rationnel c'est-à-dire

qu'il existe deux entiers naturels p et q non nuls et premiers entre eux tels que :

√2 = p/q

a) Montrer que p² est un nombre pair.

b)En déduire que p s'écrit sous la forme 2p' avec p' entier naturel.

Justifier vos réponses

Exercice 2 :

Il me reste 2 calculs sur cet exercice :

Calculer les expressions suivantes, puis donner chaque résultat sous la forme a +b √c, ou a et b sont des entiers relatifs, et c un entier positif le plus petit possible.

A = 2√500 - 3√245 - √20 + 2√25

D = - 4√81 + 5√63 - 5√343

Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait

Merci d'avance

Jeanne

[Barbidoux]

On souhaite montrer que le nombre √2 est un nombre irrationnel.

1) Pour cela, on va établir le préambule suivant :

Soit p est un entier naturel.

Si p² est pair, alors p est pair.

Si p² est impair, alors p est impair.

a) Montrer que si p est pair, alors p² est pair.

si p est pair alors p=2*n ==> p^2=4*n^2 est pair

b)Montrer que si p est impair, alors p² est impair.

si p est impair alors p=2*n+1 ==> p^2=(2*n+1)^2=4*n^2+4*n+1 est impair

c) En déduire le résultat annoncé.

Si p^2 est pair, alors p est pair.

Si p^2 est impair, alors p est impair.

2)Pour montrer que √2 est un nombre irrationnel, on va raisonner par l'absurde en suposant que √2 est rationnel c'est-à-dire

qu'il existe deux entiers naturels p et q non nuls et premiers entre eux tels que :

√2 = p/q

a) Montrer que p² est un nombre pair.

√2=p/q ==> 2=p^2/q^2 ==> p^2=2*q^2 est pair

b)En déduire que p s'écrit sous la forme 2p' avec p' entier naturel.

p^2=2*q^2 est pair ==> p=2*p' ==> p^2=4*p'2 ==> 2*q^2 =4*p'2 ==> q^2 =2*p'2 est pair et p et q sont tous les deux pairs donc ne peuvent pas être premiers entre eux ce qui montre que √2 ne peu pas être un rationnel

Justifier vos réponses

Exercice 2 :

Il me reste 2 calculs sur cet exercice :

Calculer les expressions suivantes, puis donner chaque résultat sous la forme a +b √c, ou a et b sont des entiers relatifs, et c un entier positif le plus petit possible.

A = 2√500 - 3√245 - √20 + 2√25

A=2*(√5*10*10)-3*√(7*7*5)-√(2*2*5)+2*√(5*5)

A=2*10*√5-3*7√5-2*√5+2*5

A=20*√5-21√5-2*√5+10

A=10-3*√5

D = - 4√81 + 5√63 - 5√343

A=-4*√(9*9)+5*√(3*3*7)-5*√(7*7*7)

A=-4*9+5*3*√7-5*7*√7

A=-36+15*√7-35*√7

A=-36+-20*√7

[Jeanne1]

Bonjour,

Je vous remercie de m'avoir répondue, l'exercice 1 quand je vois les réponses c'est vrai que j'aurai pu le faire mais l'exercice 2, je n'ai toujours rien compris, j'ai essayé de le refaire mas je n'y arrive pas.

D'avance Merci

Jeanne