Footeuse64 Posté(e) le 21 janvier 2011 Signaler Posté(e) le 21 janvier 2011 a et b étant deux réels que l'on va déterminer, la fonction f est définie sur ]-1,+inf[ par : f(x)= 2 + (a/(x+1)) + (b/(x+1)²) Son tableau des variations est donné ci dessous, où f' est la dérivée de f : (voir fichier joins) 1.a. calculer f '(x) en fonction de a et de b. b. En utilisant les données du tableau des variations, déterminer les réels a et b. 2.a. Montrer que f(x) peut s'écrire, pour tout x de ]-1,+inf[ : f(x)= (2x² + 5x + 2) / (x+1)² b. Calculer f(-1/2) En déduire le signe de f(x) en utilisant le tableau des variations. c. Résoudre l'équation f(x)=1 sur ]-1,+inf[, en déduire qu'il existe une seule solution "alpha" sur cet intervalle, on donnera la valeur exacte de "alpha". 3. Le plan muni d'un repère orthonormal (O,i,j) d'unité 2cm. Soit C la courbe répresentative de f dans ce repère. a. Justifier que C a deux asymptotes d1 et d2 indiquées par le tableau des variations. Tracer d1 et d2 et la courbe C. b. Determiner une primitive de f sur ]-1,+inf[, on admettra ici que a= - b=1 c. En déduire l'aire de l'ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant : ---- | (-1/2) < x < 1 ( inférieur ou égal) < | 0 < y < f(x) ( inférieur ou égal) ---- 4. Soit g la fonction définie sur ]-0,5 ; +inf[ par : g(x)= ln (f(x)) a. Justifier que g est définie sur ]-0,5 ; +inf[. b. Etablir le tableau des variations de g à partir de celui de f. c. Préciser le signe de g(x) suivant les valeurs de x. J'ai donc ce DM de math a faire pour lundi, mais je ne comprends pas, je ne sais pas le faire.
E-Bahut Papy BERNIE Posté(e) le 21 janvier 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 janvier 2011 Bonjour, est-ce que f(x)=2 + a/(x+1) + b/(x+1)² Oui ? Mais sans tableau de variation complet, on ne peut rien faire. Tu le scannes ou tu fais une photo numérique que tu envoies.
Footeuse64 Posté(e) le 21 janvier 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 21 janvier 2011 Voici le tableau des variations
E-Bahut Papy BERNIE Posté(e) le 21 janvier 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 janvier 2011 Autre chose qui est loin d'être clair : b. En utilisant les données du tableau des variations, déterminer les réels a et b. (2x² + 5x + 2) 2.a. Montrer que f(x) peut s'écrire, pour tout x de ]-1,+inf[ : f(x)= ------------------- (x+1)²
Footeuse64 Posté(e) le 21 janvier 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 21 janvier 2011 a et b étant deux réels que l'on va déterminer, la fonction f est définie sur ]-1,+inf[ par : f(x)= 2 + (a/(x+1)) + (b/(x+1)²) Son tableau des variations est donné ci dessous, où f' est la dérivée de f : (voir fichier joins) 1.a. calculer f '(x) en fonction de a et de b. b. En utilisant les données du tableau des variations, déterminer les réels a et b. 2.a. Montrer que f(x) peut s'écrire, pour tout x de ]-1,+inf[ : f(x)= (2x² + 5x + 2) / (x+1)² b. Calculer f(-1/2) En déduire le signe de f(x) en utilisant le tableau des variations. c. Résoudre l'équation f(x)=1 sur ]-1,+inf[, en déduire qu'il existe une seule solution "alpha" sur cet intervalle, on donnera la valeur exacte de "alpha". 3. Le plan muni d'un repère orthonormal (O,i,j) d'unité 2cm. Soit C la courbe répresentative de f dans ce repère. a. Justifier que C a deux asymptotes d1 et d2 indiquées par le tableau des variations. Tracer d1 et d2 et la courbe C. b. Determiner une primitive de f sur ]-1,+inf[, on admettra ici que a= - b=1 c. En déduire l'aire de l'ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant : ---- | (-1/2) < x < 1 ( inférieur ou égal) < | 0 < y < f(x) ( inférieur ou égal) ---- 4. Soit g la fonction définie sur ]-0,5 ; +inf[ par : g(x)= ln (f(x)) a. Justifier que g est définie sur ]-0,5 ; +inf[. b. Etablir le tableau des variations de g à partir de celui de f. c. Préciser le signe de g(x) suivant les valeurs de x. J'ai donc ce DM de math a faire pour lundi, mais je ne comprends pas, je ne sais pas le faire.
E-Bahut Papy BERNIE Posté(e) le 21 janvier 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 janvier 2011 1) a) La dérivée de 1/u est -u'/u² donc la dérivée de a/(x+1) est -a/(x+1)² b/(x+1)²=b/(x²+2x+1) Ici : u=x²+2x+1 donc u'=2x+2 Donc la dérivée de b/(x+1)²= - b(2x+2)/(x+1)4 Donc f '(x)= - a/(x+1)2 - b(2x+2) / (x+1)4 soit : f '(x)=- [ a/(x+1)2 + b(2x+2) / (x+1)4] --->on réduit au même déno : f '(x)= - [a(x+1)2 + b(2x+2)] / (x+1)]4 f '(x)=- (ax²+2ax+a+2bx+2b) / (x+1)4 f '(x)= - (ax²+x(2a+2b) + a+2b) / (x+1)4 b) f '(1)=0 donne : - (4a+4b)/24=0 soit a+b=0 f(1)=9/4 donne : 2 + a/2 + b/4=9/4 soit (8+2a+b)/4=9/4 soit 8+2a+b=9 soit 2a+b=1 Systéme souligné à résoudre qui donne a=1 et b=-1 donc : f(x)=2 + 1/(x+1) - 1/(x+1)²
Footeuse64 Posté(e) le 21 janvier 2011 Auteur Signaler Posté(e) le 21 janvier 2011 Voila l'énoncé scanner Avec toute ces parenthèses, crochets, division je ne comprends pas. Pourriez vous le faire à la main et me le scanner par la suite ?
E-Bahut Papy BERNIE Posté(e) le 21 janvier 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 janvier 2011 2) a) Tu réduis au même déno : f(x)=[2(x+1)² + (x+1) -1] / (x+1)²--->tu développes au numé : f(x)=(2x²+5x+2) / (x+1)² b) Tu vas trouver f(-1/2)=0 Donc d'après le tableau de variation : Sur ]-infini;0[ : f(x) négatif Sur ]0;+infini[ : f(x) positif. c) Il faut donc résoudre : 2x²+5x+2=(x+1)² donc après développement : 2x²+3x+1=0 qui donne : x1=(-3-V5)/2 et x2=(-3+V5)/2 --->V=racine carrée. Sur ]-1;+infini [ , on ne garde que x2=(-3+V5)/2 Je suis obligé d'arrêter pour ce soir. A demain matin , si personne ne le finit.
E-Bahut Papy BERNIE Posté(e) le 22 janvier 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 janvier 2011 Bonjour, Avec toute ces parenthèses, crochets, division je ne comprends pas. Pourriez vous le faire à la main et me le scanner par la suite ?
E-Bahut Papy BERNIE Posté(e) le 22 janvier 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 janvier 2011 1) c) suite et fin . Maintenant , je reviens sur la 1) c) où l'on demande de justifier qu'il n'exste qu'une seule solution "alpha" telle que f(alpha)=1. On a trouvé 2 solutions mais x1=(-3-V5)/2 est < -1 donc on ne retient que x2=(-3+V5)/2 qui vaut environ -0.38 donc est > -1. Donc : alpha=(-3+V5)/2 V=racine carrée. OK ? 3) a) Quand x tend vers -1 , f(x) tend vers -infini donc la droite x=-1 est asymptote verticale. En effet : f(x)=(2x²+5x+2)/(x+1)² Quand x tend vers -1 , le numé tend vers [2(-1)²+5(-1)+2]=-1 et le déno tend vers 0 par valeurs positives donc f(x) tend vers -infini. Quand x tend vers +infini , f(x) tend vers 2 donc la droite y=2 est asymptote horizontale. En effet f(x)=2 + 1/(x+1) - 1/(x+1)² Quand x tend vers +infini, alors 1/(x+1) tend vers 0 et 1/(x+1)² tend aussi vers 0 donc f(x) tend vers 2 .
E-Bahut Papy BERNIE Posté(e) le 22 janvier 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 janvier 2011 3) Une primitive de 2 est 2x car (2x) ' =2 Une primitive de 1/(x+1) est ln (x+1) car la dérivée de ln(x+1) est 1/(x+1) Une primitive de -1/(x+1)2 est 1/(x+1) car la dérivée de 1/(x+1) est -1/(x+1)2 Donc une primitive de f(x) est : F(x)=2x+ ln(x+1) + 1/(x+1)
E-Bahut Papy BERNIE Posté(e) le 22 janvier 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 janvier 2011 3) c) Il faut donc calculer l'intégrale de la partie en couleur dans le graph joint soit F(1)-F(-1/2). Le logiciel trouve une valeur arrondie un peu différente de la mienne. Tu réponds : aire=3/2+2ln 2. Je te joins le graph et le scan de mes calculs .
E-Bahut Papy BERNIE Posté(e) le 22 janvier 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 janvier 2011 4) a) La fct ln est définie sur ]0;+infini[. Donc il faut que f(x) qui est la variable de la fct g soit > 0. En 2) a) , tu as calculé que f(-1/2)=0 . Donc d'après le tableau de variation f(x) > 0 pour x]-1/2:+inf[---->visible aussi sur le graph mais le graph n'est pas une démonstration. Donc g(x) est définie sur ]-0.5;+infini[ car sur cet intervalle f(x) appartient à ]0;+infini[. b) g(x) est la composée de 2 fcts . g(x)=ln[f(x)]= u ° v v=f(x) est croissante sur ]-0.5;1]--->voir tableau de variation u est une fct croissante ( c'est la fonction logarithme) La composée de 2 fcts qui varient dans le même sens est une fct croissante. Donc sur ]-0.5;1] : g est croissante. v=f(x) est décroissante sur [1;+infi[ --->voir tableau de variation u est une fct croissante ( c'est la fonction logarithme) La composée de 2 fcts qui varient dans le sens inverse est une fct décroissante. Donc sur [1;+inf[ : g est décroissante.
E-Bahut Papy BERNIE Posté(e) le 22 janvier 2011 E-Bahut Signaler Posté(e) le 22 janvier 2011 4) c) N'oublie pas que le "x" de g(x) est f(x). Quand je cherche la limite de g(x) pour x qui tend vers 0 , c'est pour f(x) qui tend vers 0 donc pour x qui tend vers -1/2. lim g=-infini car la lim de ln est -infini quand sa variable tend vers 0. x---->-0.5 g(x) est croissante sur ]-0.5;1] avec lim en -0.5 qui est -infini et g(alpha)=0 (On a vu que f(alpha)=1 donc ln [f(alpha)]=ln1=0). alpha=(-3+V5)/2 Donc sur ]-0.5;(-3+V5/2)/2[ : g est négative et elle est positive sur ](-3+V5)/2;1[ g est décroissante sur [1;+infini[ et g[f(1)]=ln(9/4) car f(1)=9/4 qui vaut environ 0.8 et est donc positif.. La fct f décroît avec pour limite 2 lorsque x tend vers +infini, donc g décroît avec pour limite ln 2 qui vaut environ 0.69 et est donc positif. Donc sur [1;+infini[ , g décroît de 9/4 vers ln 2 est est donc tjrs positive. Donc sur ](-3+V5)/2;+infini[ , g est positive. Je ne peux pas te donner plus d'explications. OK !! Bon courage car tu as un long et difficile DM pour une éléve de TES.
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