Bac Blanc Revision Derniere Ligne Droit Aidez Moi

[poussinou]

uneentreprise fabrique un produit en quantité x exprimée en milliers de tonnes

le cout total de la fabrication est donnéen t[0;5] par

CT(x)= x²/4 + 9/2 ln (x+1) le cout exprimée encentaines de milliers d'€

A etude dune fonction auxiliaire

on considere la fonction F defini sur [0;5] par:

F(x) = x²/2 + 9x/x+1 - 9 ln (x+1)

1) calucler F'(x)

verifier que lon peut ecrire F'(x)=x(x-2)(x+4) /(x+1)é

2) etablir le tableau de variations de F sur [0 ;5]

3)en deduire quue F s'annule sur [0;5] pour unevaleur unique a.

4) determiner un encadrement a 10^-3 pres de a (preciser la methode)

5) deduire des resultats precedents de singne de Fsir [0;5]

B. etude d'un cout moyen

la fonction cout moyen CM est definie sur ]0;5]

CM(x)= CT(x)/x = x/4 + 9 / 2 ln(x+1)/x

1) calculer CM'(x)

verifier que lon peut ecrire CM'(x)= f(x)/2x² ou fest la fonction auxiliaire de la question A

2) etudier le sens de variation de CM SUR ]0;5]

3) pour quelle production l'entreprise a t'elle uncout moyen minimum

exprimé en € par tonnes et quel est ce cout?

svp c'est ma derniere revision de maths avant monbac blanc de maths le premier et je ne comprends vraiment rien du tout a certepartie du chapitre donc voila je voudrais mettre tout les chances de mon cotéspour reussir a decrocher mon bac merci;

bonne annee au passage et meilleurs voeux.

[Papy BERNIE]

Bonjour,

F(x) = x²/2 + 9x/(x+1) - 9 ln (x+1)

1)

La dérivée de x²/2 est 2x/2 soit x.

9x/(x+1) est de la forme u/v avec :

u=9x donc u'=9

v=x+1 donc v'=1

(u'v-uv')/v² donne : [9(x+1)-9x]/(x+1)² soit : 9/(x+1)²

La dérivée de ln(u) est u'/u donc la dérivée de ln(x+1) est 1/(x+1)

Donc :

F' (x)=x + 9/(x+1)² - 9/(x+1)

On réduit au même déno :

F '(x)=[x(x+1)+9-9(x+1)] / (x+1)²=(x³+2x²-8x)/(x+1)²=[x(x²+2x-8)] / (x+1)²

Et si tu développes (x-2)(x+4) , tu retrouves x²+2x-8

donc :

F'(x)=[x(x-2)(x+4) ] /(x+1)²

2)

Le déno de F ' est tjrs > 0.

Sur [0;5] , x est >=0 donc F ' est du signe de (x-2)(x-4). Tu fais un tableau de signes et tu vois que (x-2) (x+4) est < 0 sur [0;2] et > 0 sur [2;5].

Donc tu peux faire le tableau de variation de F qui est décroissant sur [0;2] et croissant sur [2;5].

F(0)=0

F(2)=8-9ln3 soit environ -1.9

F(5)=20-9ln6 soit environ 3.9

3)en deduire quue F s'annule sur [0;5] pour unevaleur unique a.

[Papy BERNIE]

PARTIE B :

1)

CM(x)= CT(x)/x = x/4 + (9 / 2)[ ln(x+1)/x]

La dérivée d x/4 est 1/4.

Calcul de la dérivée de ln(x+1)/x qui est de la forme u/v avec :

u=ln(x+1) donc u'=1/(x+1)-->déjà expliqué

v=x donc v'=1

(u'v-uv')/v² donne : [x/(x+1) -ln(x+1)] / x²

Il faudra remettre (9/2) devant donc :

CM ' (x)=1/4 + (9/2) [x/(x+1) -ln(x+1)] / x²

CM' (x)= 1/4 +(9/2) [x/x²(x+1)] - (9/2)[ln(x+1)/x²]-->je viens de développer .

CM' (x)=1/4 + 9/[2x(x+1) ] - (9ln(x+1)) /2 x²--->L1

Calculons F(x)/x :

F(x) = x²/2 + 9x/x+1 - 9 ln (x+1)

Donc

F(x)/2x²=1/4 + 9/[2x(x+1)] - [9ln(x+1)]/2x²--->L2

On a bien L1=L2

2)

CM ' (x) est donc du signe de F(x) car le déno 2x² est positif.

Comme F est négatif sur [0;a] puis positif sur [a;5] alors :

CM' (x) est négatif sur [0;a] puis positif sur [a;5]

donc :

CM(x) est décroissant sur ]0;a] et croissant sur [a;5]

3)

Le coût moyen minimum est donc atteint pour une production de 3.7 milliers de tonnes environ soit 3700 tonnes.

Ce coût moyen est donné par CM(3.7) qu'il suffit de calculer.

A+