Exercice Type Bac

[Romain94700]

Bonsoir, je dois faire cet exercice pour demain mais j'ai quelques difficultés :

f est la fonction x => x - (exp^x - 1) /(exp^x + 1) définie sur R et C sa courbe dans un repère orthonormal.

1°) a) Vérifiez que pour tout réel x, f(x) = x - 1 + (2 / exp^x + 1) et f(x) = x + 1 - (2exp^x / exp^x + 1)

b) Étudiez les limites de f en - infini et en + infini.

c) Démontrez que les droites DELTA 1 et DELTA 2 d'équations respectives y = x + 1 et y = x - 1 sont asymptotes à C respectivement en - infini et en + infini

d) Préciser les positions relatives de C par rapport aux droites DELTA 1 et DELTA 2.

2°) a) Démontrez que la fonction f est impaire.

b) Etudiez les variations de f sur [0 ; +inf[.

3°) Tracez DELTA 1 et DELTA 2, la tangente à C au point d'abscisse x = 0, puis la courbe C.

4°) Démontrez que l'équation f(x) = 1 admet une solution et une seule ALPHA. Déterminez un encadrement de ALPHA au dixième.

Merci pour votre aide!!!

[Barbidoux]

f est la fonction x => x - (exp^x - 1) /(exp^x + 1) définie sur R et C sa courbe dans un repère orthonormal.

1°) a) Vérifiez que pour tout réel x, f(x) = x - 1 + (2 / exp^x + 1) et f(x) = x + 1 - (2exp^x / exp^x + 1)

------------------

f(x)=x-(exp(x)-1)/(exp(x)+1)= x-(exp(x)+1-2)/(exp(x)+1)=x-1+2/(exp(x)+1)

b) Étudiez les limites de f en - infini et en + infini.

c) Démontrez que les droites DELTA 1 et DELTA 2 d'équations respectives y = x + 1 et y = x - 1 sont asymptotes à C respectivement en - infini et en + infini

d) Préciser les positions relatives de C par rapport aux droites DELTA 1 et DELTA 2.

------------------

Lorsque x-> alors 2/(exp(x)+1) ->0 -> et f(x) x-1 -> . La droite d'équation y=x-1 est asymptote au graphe de f(x). f(x)-(x-1)=2/(exp(x) -> 0⁺ et f(x) tend vers son asymptote par valeurs supérieures.

Lorsque x-> - alors 2/(exp(x)+1) ->2 -> et f(x) x-1+2=x+1 -> - . La droite d'équation y=x+1 est asymptote au graphe de f(x). f(x)-(x+1)=-2+2/(exp(x)+1) -> 0^- et f(x) tend vers son asymptote par valeurs inférieures.

2°) a) Démontrez que la fonction f est impaire.

f(x)=x-(exp(x)-1)/(exp(x)+1)

f(-x)=-x-(exp(-x)-1)/(exp(-x)+1)==-x-(1-exp(x))/(1+exp(-x))=-f(x)

La fonction f(x) est impaire, elle admet donc l'origine comme centre de symétrie

b) Etudiez les variations de f sur [0 ; +inf[.

f'(x)=exp(x)(exp(x)-1)/(1+exp(x))^2-exp(x)(1+exp(x))+1 =(1+exp(2*x)/(1+exp(x))^2 >0 qq soit x donc fonction croissante

3°) Tracez DELTA 1 et DELTA 2, la tangente à C au point d'abscisse x = 0, puis la courbe C.

La tangente au point d'abscisse a au graphe d'une fonction f(x), lorsqu'elle existe, a pour expression y=f'(a)*(x-a)+f(a)

La tangente à C au point d'abscisse x=0 a pour expression y=f'(0)*x+f(0)=2*x/4=x/2

4°) Démontrez que l'équation f(x) = 1 admet une solution et une seule ALPHA. Déterminez un encadrement de ALPHA au dixième.

f(x)=1 ==> f(x)-1=0=x-2+2/(exp(x)+1)

La fonction g(x)=x-2+2/(exp(x)+1) est telle que g'(x)=f'(x) donc croissante sur son intervalle de définition. g(1)= -0,462 et g[2]=0,238 montre que le graphe de g(x) couple l'axe des x entre un seul point situé entre les abscisses 1 et 2 solution de g(x)=0. Un encadrement de l'abscisse de ce point est déterminé par dichotomie :

[Romain94700]

Merci beaucoup pour votre réponse.