chocali Posté(e) le 27 novembre 2010 Signaler Posté(e) le 27 novembre 2010 Bonjour je suis en première et j'aurai besoin d'aide pour mon dm. Voici l'énoncé : On veut réaliser un toboggan pour les enfants, qui se termine en pente douce. Il doit donc vérifier les conditions suivantes. (1) Il doit avoir une tangente en A parallèle au sol. (2) Il doit être tangent au sol au point B. Dans tout le problème, on considère le plan rapporté au repère orthonormal (O; vecteur i; vecteur j)(unité graphique : 2,5cm) Les coordonnées du point A sont donc (0;2), celles du point B sont (4;0). Le but du problème est de trouver des fonctions dont les courbes représentatives ont l'allure du toboggan et vérifient les conditions de l'énoncé. 1. Une fonction polynôme du premier degré peut-elle convenir ? Expliquer pourquoi. Je sais qu'une fonction polynôme ne convient pas mais je n'arrive pas à expliquer pourquoi. 2. a) f est la fonction définie sur [0;4] par : f(x)= -1/4 x^2+2 et Cf est sa courbe représentative dans (O,i,j). Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. Cela me donne : f est négatif sur [0,4] Donc : x 0 4 f ' (x) - f(x) 2 décroissante 0 b) g est la fonction définie sur [0;4] par : g(x)= 1/4 x^2-2x+4 et Cg sa courbe représentative dans (O,i,j) Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation. Cela me donne : g négatif sur [0;4] Donc x 0 4 f ' (x) + f(x) 4 décroissante 0 c) Démontrer que Cf et Cg ont en commun le point C de coordonnées (2;1). Là je bloque. d) Démontrer que Cf et Cg ont la même tangente T au point C. Il faut montrer que f(2)=g(2) et que f ' (2)=g ' (2) 3. On décide de donner au toboggan, un profil correspondant à la courbe représentative dans (O,i,j) d'une fonction polynôme P de degré 3 : P(x)= ax^3 + bx^2 +cx + d a) Trouver la valeur de d sachant que la courbe passe par A. b) Sachant que la courbe doit vérifier les conditions (1) et (2) et qu'elle passe par B, trouver les valeurs de a, b et c. c)h est la fonction définie sur [0;4] par : h(x)= 1/16 x^3 - 3/8 x^2 +2 Etudier les variations de h et donner sont tableau de valeurs. h est négatif sur [0;4] Donc : x 0 4 f ' (x) + f(x) 2 décroissante 0 4. Observer les graphiques, puis calculer la pente maximale (c'est-à'dire le maximum de | f ' (x) | ) du toboggan dans chacun des deux cas étudiés et conclure sur le cas le plus favorable. J'aimerais que l'on m'aide à faire mes questions et que l'on me corrige pour celles que j'ai faîte.
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 27 novembre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 novembre 2010 On veut réaliser un toboggan pour les enfants, qui se termine en pente douce. Il doit donc vérifier les conditions suivantes. (1) Il doit avoir une tangente en A parallèle au sol. (2) Il doit être tangent au sol au point B. Dans tout le problème, on considère le plan rapporté au repère orthonormal (O; vecteur i; vecteur j)(unité graphique : 2,5cm) Les coordonnées du point A sont donc (0;2), celles du point B sont (4;0). Le but du problème est de trouver des fonctions dont les courbes représentatives ont l'allure du toboggan et vérifient les conditions de l'énoncé. 1. Une fonction polynôme du premier degré peut-elle convenir ? Expliquer pourquoi. ------------------ Elle n'admet pas de tangente ------------------ 2. a) f est la fonction définie sur [0;4] par : f(x)= -1/4 x^2+2 et Cf est sa courbe représentative dans (O,i,j). Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. ------------------ f'(x)=-x/2 négative sur l'intervalle de définition donc fonction décroissante sur l'intervalle dedéfinition ------------------ b) g est la fonction définie sur [0;4] par : g(x)= 1/4 x^2-2x+4 et Cg sa courbe représentative dans (O,i,j) Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation. ------------------ g'(x)=x/2-2 s'annule pour x=4 x................................4................... g'(x)..........(-).............(0).......(+)..... g(x)......decrois...........Min.....crois...... ------------------ c) Démontrer que Cf et Cg ont en commun le point C de coordonnées (2;1). ------------------ ce point est tel que f(x)=g(x) ==> -1/4 x^2+2=1/4 x^2-2x+4 ==> x^2-4*x+4=0 ==> (x-2)^2=0 ==> x=2 et donc la point commun a pour coordonnées {2,f(2}={2,1} ------------------ d) Démontrer que Cf et Cg ont la même tangente T au point C. ------------------ La tangente, lorsqu'elle existe, au point d'abscisse a au graphe d'une fonction f(x) a pour expression y=f'(a)*(x-a)+f(a) La tangente au point d'abscisse 2 au graphe d'une fonction f(x) a pour expression y1=f'(2)*(x-2)+f(2)=-(x-2)+1=-x+3 La tangente au point d'abscisse a au graphe d'une fonction f(x) a pour expression y2=g'(2)*(x-2)+f(2)=-(x-2)+1=-x+3 Cf et Cg ont la même tangente T au point C. ------------------ 3. On décide de donner au toboggan, un profil correspondant à la courbe représentative dans (O,i,j) d'une fonction polynôme P de degré 3 : P(x)= ax^3 + bx^2 +cx + d a) Trouver la valeur de d sachant que la courbe passe par A. ------------------ A{0,2} ==> P(0)=d=2 ==> d=2 ------------------ b) Sachant que la courbe doit vérifier les conditions (1) et (2) et qu'elle passe par B, trouver les valeurs de a, b et c. ------------------ Le toboggan doit avoir une tangente en A parallèle au sol. ==> P'(0)=0 ==>c=0 et l'équation de la tangente doit être y=2 ==> P(0)=2 ==> ce qui confirme d=2 Il doit être tangent au sol au point B {4,0}. P'(0)=0 l'équation de la tangente doit être y=0 ==> P'(4)=0 ==> 3*16*a+2*4*b=0==>6*a+b=0 La courbe passe par B ==> P(4)=0 ==> 64*a+16*b+2=0 ==> 64*a+16*(-6*a)+2=0 ==> a=1/16 et b=-3/8 ------------------ c)h est la fonction définie sur [0;4] par : h(x)= 1/16 x^3 - 3/8 x^2 +2 Etudier les variations de h et donner sont tableau de valeurs. ------------------ h'(x)=3*x^2/16-6x/8=3*x*(x-4)/16 (>0 à l'extérieur des racines) x......................0...........................4............................. h(x)....(+).........(0)......(-)..............(0).........(+).......... h(x)..crois.......Max.....decroiss.......Min......crois....... ------------------ 4. Observer les graphiques, puis calculer la pente maximale (c'est-à'dire le maximum de | f ' (x) | ) du toboggan dans chacun des deux cas étudiés et conclure sur le cas le plus favorable. Graphes absents
chocali Posté(e) le 27 novembre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 27 novembre 2010 Merci beaucoup Barbidoux.
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