Nombre Premier Spécialité Mathématiques

[Étienne9]

Bonjour à vous,

Je dois montrer que tout entier naturel non premier n autre que 1 admet un diviseur premier a tel que a < ou = racine(n)

Je n'arrive pas trop...

Merci !

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

Contrairement à mon habitude, cette réponse ne sera pas rédigé. Et ce que ce te propose n'est qu'un chemin parmi d'autres (et surement pas le plus court).

Soit n, un entier non premier diif de 1. Donc, il existe k et l dans N*\{1} tel que n = k*l.

Introduisons la fonction f(k,l) = min(k,l). Il nous faut expliciter cette fonction.

Étudions la différence k-l. k-l = k-n/k = (k²-n)/k = (k-sqrt(n))(k+sqrt(n))/k.

Si k => sqrt(n), f(k,l) = l = n/k, sinon f(k,l) = k.

On voit bien que f(k,l) a pour maximum sqrt(n). Donc, il existe toujours un entier sqrt(n) qui décompose n.

Je le répète, c'est très mal rédigé. Si tu veux avoir tout les points, tu auras de la rédaction à faire et pas recopier bêtement ce que je t'ai dit.

[Étienne9]

On n'a pas encore vu ni les min, ni sqrnt...

C'est quoi exactement ?

[Boltzmann_Solver]

On n'a pas encore vu ni les min, ni sqrnt...

C'est quoi exactement ?

[Étienne9]

En fait c'est bien plus simple que ça, cette démonstration on ne l'a pas vu en cours et c'est écris Démonstration cours dessus.

En fait pour faire simples, j'écris quelques phrases et la démonstration c'est ça :

n = bq

q supérieur ou égal à b

bq supérieur ou égal à b carré

n supérieur ou égal à b carré

D'où ce qu'ils ont dit !

[Boltzmann_Solver]

En fait c'est bien plus simple que ça, cette démonstration on ne l'a pas vu en cours et c'est écris Démonstration cours dessus.

En fait pour faire simples, j'écris quelques phrases et la démonstration c'est ça :

n = bq

q supérieur ou égal à b

bq supérieur ou égal à b carré

n supérieur ou égal à b carré

D'où ce qu'ils ont dit !

[Étienne9]

Soit n ∈ N, n <>1 et n non premier, ∃ un nombre b∈N tel que b|n par conséquent son carré est plus petit que n.

En effet, n non premier ⇒∃ un nombre b premier tel que b|n avec b le plus petit diviseur de n 1

On a dès lors n = aq

q a

aq a²

n a²

Par conséquent, on obtient a <=rac(n)

Cela devrait être bon là non ?

[Boltzmann_Solver]

Soit n ∈ N*\{1}, tel que n non premier, ∃ un nombre b∈N tel que b|n par conséquent son carré est plus petit que n.

En effet, n non premier ⇒∃ un nombre a premier tel que a|n avec a le plus petit diviseur de n. (En effet, ce nombre a sera premier mais tu ne l'as pas montré. Et vu que tu n'en a pas besoin...).

On a dès lors, q dans N tel que n = aq avec a q

q a

aq a² Dire que tu peux faire le produit car a > 0

n a²

sqrt(n) => a par composition par la fonction racine, qui est monotone croissante sur son Df.

Par conséquent, on a montré qu'il existe a tel que : a <=rac(n)

Cela devrait être bon là non ?

[Étienne9]

Merci ! Je vous adore !

[Étienne9]

La dernière question et je vais la faire et je voudrai que vous me dites si c'est bon c'est :

Les nombres premiers inférieurs à 30 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Expliquez pourquoi le nombre 853 est premier.

Ce nombre est pair seulement s'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à la valeur de sa racine carrée.

• 2 ne divise pas 853 car pour qu'un nombre soit divisible par 2, il faut que son dernier chiffre soit un chiffre pair.
• 8 + 5 + 3 = 16 or 16 n'est pas congrue à 3 modulo 0 donc 3 ne divise pas 853
• 5 ne divise pas 853 car pour qu'un nombre soit divisible par 5 il faut que son dernier chiffre soit 0 ou 5.
• 7 ne divise pas 853 car le reste de 853 par 7 est de 6 dans la division euclidienne.
• 3 - 5 + 8 = 6 et 11 ne divise pas 6 donc 11 ne divise pas 853
• 13 ne divise pas 853 car le reste de la division euclidienne de 853 par 13 est 8
• 17 ne divise pas 853 car r = 3
• 19 ne divise pas 853 car r = 17
• 23 ne divise pas 853 car r = 2
• 29 ne divise pas 853 car r = 12

[Boltzmann_Solver]

La dernière question et je vais la faire et je voudrai que vous me dites si c'est bon c'est :

Les nombres premiers inférieurs à 30 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Expliquez pourquoi le nombre 853 est premier.

D'après la propriété du dessus, s'il n'est pas premier, il existe q sqrt(853) < sqrt(900) = 30.

De plus, on sait que tout nombre entier peut se décomposer en produit de nombre premier. Donc, on peut se restreindre aux nombres premiers 30.

Ce nombre est pair seulement s'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à la valeur de sa racine carrée.

853 n'est pas pair car il ne finit pas par 0,2,4,6,8.

• 2 ne divise pas 853 car pour qu'un nombre soit divisible par 2, il faut que son dernier chiffre soit un chiffre pair. Là, oui !
• 8 + 5 + 3 = 16 or 16 n'est pas congrue à 3 modulo 0 donc 3 ne divise pas 853 Oki.
• 5 ne divise pas 853 car pour qu'un nombre soit divisible par 5 il faut que son dernier chiffre soit 0 ou 5. Oki.
• 7 ne divise pas 853 car le reste de 853 par 7 est de 6 dans la division euclidienne.
• 3 - 5 + 8 = 6 et 11 ne divise pas 6 donc 11 ne divise pas 853
• 13 ne divise pas 853 car le reste de la division euclidienne de 853 par 13 est 8
• 17 ne divise pas 853 car r = 3
• 19 ne divise pas 853 car r = 17
• 23 ne divise pas 853 car r = 2
• 29 ne divise pas 853 car r = 12

N'oublie pas de conclure. On a montré qu'aucun nombre premiers divisait 853. Donc, il est premier.

[Étienne9]

Ce nombre est pair PREMIER seulement s'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à la valeur de sa racine carrée.

Pour pair je me suis trompé, je voulais dire premier !!

[Boltzmann_Solver]

Ce nombre est pair PREMIER seulement s'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à la valeur de sa racine carrée.

Pour pair je me suis trompé, je voulais dire premier !!

[Étienne9]

Merci beaucoup en tout cas !

[Boltzmann_Solver]

Merci beaucoup en tout cas !