manounne Posté(e) le 14 novembre 2010 Signaler Posté(e) le 14 novembre 2010 Bonjour, Pouvez-vous m'aider sur cet exercice ? D'avance, merci ! On considère la suite (un) n appartient à N à termes positifs, telle que u0 = 5 et vérifiant pour tout entier naturel n : un+1 = RACINE CARREE DE (un+ 12) ==> Montrer que pour tout entier naturel n, un > (ou=) 4 Ce que j'ai fait : u0 = 5 un+1 = (un+ 12) D'où u1 = RACINE 17 = 4,1 (environ) Donc u0 > u1 > 4 Donc un > 4 On se propose, dans cette question, d'étudier de deux manières la convergence de cette suite a) Première méthode : Montrer que la suite (un) est décroissante. Déduire de ce qui précède que la suite est convergente, puis trouver sa limite. b) Deuxième méthode -Montrer que pour tout entier naturel n : un+1 - 4 > (ou =) 1/4 (un-4) -Montrer que pour tout entier naturel n : 0 > (ou =) un- 4 > (ou =) 1/(4n) -En déduire que la suite converge et trouver sa limite. Ce que j'ai fait : Pour la première technique, il faut donc prouver que u(n+1) < u(n) Pour prouver qu'elle est convergente, je rappelle de la question précédente qu'elle est décroissante + il faut que je trouve qu'elle soit minorée... je pense qu'il faut utiliser la récurrence mais je n'y arrive pas !!!
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 14 novembre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 novembre 2010 Bonjour, C'est pas terrible le début. Reprenons. 1) Il y a bien un embryon d'idée mais l'en l'état, ça vaudrait 0. Ici, il faut démontrer la propriété Pn : un => 4 par récurrence. 2)a) En effet, tu dois montrer que Un+1 - Un 0. Pour cela, étudie la fonction f(x) = sqrt(x+12)-x pour tout x =>4. Tu verras que f est négative ou nulle. Donc, Un est forcément décroissante et constante en 4. Ensuite, pour assurer sa convergence, il suffit de dire que Un est minoré par 4 (d'après 1)) décroissante. Donc, Un est convergente. De plus, la seule valeur de convergence est 4 car : * D'après l'étude de fonction, le seule valeur ou f(x) = 0 est pour x=4. * On peut aussi chercher la valeur de convergence en posant Un+1 = Un = C. Et en résolvant le polynôme de degré 2, la seule valeur compatible est C = 4. b) Tu as des erreurs d'énoncé dans la première question. Il faut renverser l'inégalité * Pareil, tu étudies la fonction g(x) = sqrt(x+12)-4 - 0.25(x-4) et montrer qu'elle est décroissante ou nulle pour x => 4. * Tu obtiens le un+1-4 => 0 d'après la question 1) et ainsi l'inégalité. Tu peux conclure avec le théorème des gendarmes. Tu as du boulot pour cet exo.
manounne Posté(e) le 14 novembre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 14 novembre 2010 Bonsoir, Merci de votre réponse. J'ai essayé de recommencer par la récurrence ... : Soit Pn " un 4" P1 = 17 4,1 P1 > un Donc P1 est vraie. Supposons la propriété Pn vraie au rang n et montrons qu'elle est vraie au rang n+1 un > 4 un+1 > f(4) un+1 > 4 ???
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 14 novembre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 14 novembre 2010 Bonsoir, Merci de votre réponse. J'ai essayé de recommencer par la récurrence ... : Soit Pn " un 4" P1 = 17 4,1 P1 > un Donc P1 est vraie. Supposons la propriété Pn vraie au rang n et montrons qu'elle est vraie au rang n+1 un > 4 un+1 > f(4) un+1 > 4 ???
manounne Posté(e) le 14 novembre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 14 novembre 2010 Et bien j'ai regardé mes mails de nombreuses fois dans la journée et je n'avais rien d'e-bahut !!! En visitant le site ce soir, je me suis aperçue que vous aviez répondu et donc que je ne recevais plus les notifications par mail.... l'heure tardive m'embête tout autant que vous ! Pour ce qui est de la récurrence, je pense enfin y etre parvenue : Soit Pn " un 4" P1 = 17 4,1 P1 > un Donc P1 est vraie. Supposons la propriété Pn vraie au rang n et montrons qu'elle est vraie au rang n+1 un > 4 un + 12 16 (un + 12) 16 (un + 12) 4 > un+1 ' on a ainsi prouvé que la propriété est héréditaire. D'après le principe de récurrence, on peut affirmer : pour tout n de N, un 4 Pour ce qui est de la 1ère méthode, montrer qu'elle est décroissante, j'ai fait une autre méthode que la votre mais elle ne fonctionne pas car je la trouve croissante, pouvez-vous me dire où est l'erreur svp car normalement cela doit fonctionner... un+1 = f (un) f(x) = (x + 112) x + 12 0 x -12 Donc f est croissante sur [-12; + [ On cherche le sens de variation de un : u1 = (5 + 12) = 17 u1 > u0 et donc (un) croissante... Ce qui n'est pas normal puisque je dois prouver l'inverse !!!
manounne Posté(e) le 14 novembre 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 14 novembre 2010 AH! je pense savoir pour mon erreur ==> Il faut dériver f(x) Cela donne : f'(x) = 1/ (2 (x + 12)) f est croissante sur ]-12; + [ Et cette fois u1 = 1 / (2 17) 0,1 Donc u1 < u0 Donc un décroissante
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 15 novembre 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 15 novembre 2010 Bonjour, Pour 1) OK sauf que tu dois commencer à 0 !!! Pour 2)a) ça n'a aucun sens. Je te recommande de faire le mienne car elle marche très souvent (en tout cas, jusqu'en term à chaque fois).
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