Primitive

[malkafas]

bonjour a tous j'ai un exercice que je suis bloquée à un certain endroit si quelqu'un pourra m'aider

merci d'avance

1)a) si u est une application dérivable sur R, à valeurs dans R*+ , calculer pour tout réel la dérivée de g: t tend vers g(t)=ln(u(t))

1)b) donner le domaine de définition et de continuité de th. en déduire sur quel intervalle réel maximal contenant 0 on peut trouver une primitive de th.

c) déterminer la primitive A de th qui s'annule en 0

2) soit l'application phi : x tend vers arcsin(1/ch(x))

a) déterminer le domain D de dérivabilité de phi.

b) calculer , pour tout t appartient a D, la dérivée de phi (t) .

3) résoudre en précisant les intervalles de réoslution l'équation différentielle suivante :

(e) : y'-2th(t)y= - (sh(t)ch(t))/(racine carre de ( ch(t)au carre - 1 ) ).

1)a) g'(t) = 1/u(t)

b) th est strictement croissante sur R ( c'est quoi la continuité ?) donc on peut trouvé 1primitive de th sur R*

c) je n'ai pas reussi ... desolé

2)a)sur intervalle ]-1;1[

b) je n'ai pas compris comment on dérive ce genre de fonction ...

3) th(t) est du type 2.u'/u et a pour primitive 2.ln(ch(t))

donc l'équation sans second membre a pour solution générale y₀(x) = K.exp(2.ln(ch(t)) = K.ch²(t)

sur ]0 ; +infini[ ; racine carré de (ch²(t) - 1) = racine carré de sh²(t) = |sh(t)| = sh(t) car sh(t)>0

donc (E) : y' - 2.th(t).y = - ch(t)

méthode de variation de la constante : on cherche y sous la forme y(t) = K(t).ch²(t)

et donc y'(t) = K'(t).ch²(t) + 2.K(t).ch(t).sh(t).y

en remplaçant dans (E) :

K'(t).ch²(t) + 2.K(t).ch(t).sh(t).y - 2.th(t).K(t).ch²(t) = - ch(t)

K'(t).ch²(t) + 2.K(t).ch(t).sh(t).y - 2.(sh(t)/ch(t)).K(t).ch²(t) = - ch(t)

K'(t).ch²(t) + 2.K(t).ch(t).sh(t).y - 2.sh(t).K(t).ch(t) = - ch(t)

K'(t).ch²(t) = - ch(t)

K'(t) = -1/ch(t) = - 2 / (e^t + e^-t) = -2.e^t/(1 + e^2t)

on reconnait le type u'/(1+u²), qui se primitive en arctan(u)

K(t) = - 2.arctan(e^t) + constante

d'où la solution générale de l'équation complète sur ]0 ; + infini[

y(t) = (K - 2.arctan(e^t)).ch²(t)

et puis sur ]- infini; 0[ , il y a que le signe qui change non ?..

[Boltzmann_Solver]

bonjour a tous j'ai un exercice que je suis bloquée à un certain endroit si quelqu'un pourra m'aider

merci d'avance

1)a) si u est une application dérivable sur R, à valeurs dans R*+ , calculer pour tout réel la dérivée de g: t tend vers g(t)=ln(u(t))

1)b) donner le domaine de définition et de continuité de th. en déduire sur quel intervalle réel maximal contenant 0 on peut trouver une primitive de th.

c) déterminer la primitive A de th qui s'annule en 0

2) soit l'application phi : x tend vers arcsin(1/ch(x))

a) déterminer le domain D de dérivabilité de phi.

b) calculer , pour tout t appartient a D, la dérivée de phi (t) .

3) résoudre en précisant les intervalles de réoslution l'équation différentielle suivante :

(e) : y'-2th(t)y= - (sh(t)ch(t))/(racine carre de ( ch(t)au carre - 1 ) ).

1)a) g'(t) = 1/u(t)

b) th est strictement croissante sur R ( c'est quoi la continuité ?) donc on peut trouvé 1primitive de th sur R*

c) je n'ai pas reussi ... desolé

2)a)sur intervalle ]-1;1[

b) je n'ai pas compris comment on dérive ce genre de fonction ...

3) th(t) est du type 2.u'/u et a pour primitive 2.ln(ch(t))

donc l'équation sans second membre a pour solution générale y₀(x) = K.exp(2.ln(ch(t)) = K.ch²(t)

sur ]0 ; +infini[ ; racine carré de (ch²(t) - 1) = racine carré de sh²(t) = |sh(t)| = sh(t) car sh(t)>0

donc (E) : y' - 2.th(t).y = - ch(t)

méthode de variation de la constante : on cherche y sous la forme y(t) = K(t).ch²(t)

et donc y'(t) = K'(t).ch²(t) + 2.K(t).ch(t).sh(t).y

en remplaçant dans (E) :

K'(t).ch²(t) + 2.K(t).ch(t).sh(t).y - 2.th(t).K(t).ch²(t) = - ch(t)

K'(t).ch²(t) + 2.K(t).ch(t).sh(t).y - 2.(sh(t)/ch(t)).K(t).ch²(t) = - ch(t)

K'(t).ch²(t) + 2.K(t).ch(t).sh(t).y - 2.sh(t).K(t).ch(t) = - ch(t)

K'(t).ch²(t) = - ch(t)

K'(t) = -1/ch(t) = - 2 / (e^t + e^-t) = -2.e^t/(1 + e^2t)

on reconnait le type u'/(1+u²), qui se primitive en arctan(u)

K(t) = - 2.arctan(e^t) + constante

d'où la solution générale de l'équation complète sur ]0 ; + infini[

y(t) = (K - 2.arctan(e^t)).ch²(t)

et puis sur ]- infini; 0[ , il y a que le signe qui change non ?..