Dm De Maths

[amettys]

bonjour;

alors voilà je bloque sur un exercice qui est le suivant:

on considere les fonctions f derivables sur IR et verifiant les propriétés suivantes:

1/pour tout nombre reel x , (f '(x))²-(f(x))²=1

2/ f '(0)=1

3/ la fonction f ' est derivavle sur IR

demontrer que pour tout réel x, f '(x) est different de 0

calculer f(0)

demontrer que pour tout réel x , f ' ' =f(x),où f ' ' designe la dérivée seconde de la fonction f

on pose u= f ' +f et v= f ' -f

calculer u(0) et v(0)

demontrer que u ' = u et v '= v

merci de me donner quelques pistes pour que je puisse le faire =)

[elp]

Soit a un réel tel que f'(a)=0

f'(a)²-f(a)²=1 donne 0-f(a)²=1

donc

f(a)²=-1 ce qui est impossible car un carré est toujours sup ou égal à .

Il n'existe pas de réel a tel que f'(a)=0 dc quel que soit x ds R, f'(x) est non nul.

f'(0)²-f(0)²=1

on sait que f'(0)=1 dc 1-f(0)²=1 et f(0)=0

pour tt x de R

f'(x)²-f(x)²=1

on dérive par rapport à x.

2f''(x)f'(x)-2f'(x)f(x)=0

2f'(x)[f''(x)-f(x)]=0

f(x) n'étant jamais nul, on a dc f''(x)-f(x)=0 dc f''x)=f(x)

u=f'+f

u(0)=f'(0)+f(0)=1+0=1

v=f'-f

v(0)=f'(0)-f(0)=1-0=0

u=f'+f dc u'=f''+f'=f+f' =u (car f''=f)

v=f'-f dc v'=f''-f'=f-f'=-v