Démonstration Tvi

[Clm]

Bonjour/ Bonsoir,

J'ai un problème quant à la résolution d'un exercice de démonstration du théorème des valeurs intermédiaires

Voici l'énoncé :

Rappel :

"Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R, et a,b deux réels appartenant à I, a<b.

Si f est continue sur [a;b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c appartenant à [a;b] tel que f©=k"

Démonstration :

Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle I de R, a et b deux réels appartenant à I tels que a<b, et k un réel compris entre f(a) et f(b).

On construit, ap rrécurrence, deux suites (a_n) et (b_n) en posant : a₀=a et b₀=b e tpour tout entier naturel n,

- Si f( (a_n+b_n)/2 ) k, alors a_n+1= (a_n+b_n)/2 et b_n+1= b_n

- Si f( (a_n+b_n)/2 ) > k, alors a_n+1=a_n et b_n+1= (a_n+b_n)/2

Questions :

1-

a- Démontrer que a_n<b_n=== Résolu par récurrence

b- Démontrer que f(a_n)<=k<= f(b_n)

c- Démontrer que (a_n) est une suite croissante et que (b_n) es tune suite décroissante

d- Démontrer que b_n-a_n=(1/2ⁿ)*(b_0-a₀)

e- En déduire que els suites (a_n) et (b_n) sont adjacentes. On appelle L leur limite commune.

2-

a- Déterminer les/la limite(s) que f(a_n) et f(b_n) lorsque n tend vers +

b- Achever la démonstration

[elp]

pour le b) on fait une démo par récurrence

je t'en donne les grandes lignes (idem pour les autres questions, à toi de rédiger correctement)

par hypothèse: f(a)<=k<=f(b) dc f(a0)<=k<=f(b0)

supposons que f(an)<=k

a(n+1)=(an+bn)/2 si f(an+bn)/2)<=k et par suite ds ce cas f(a(n+1))=f(an+bn)/2) qui est bien <=k

Sinon a(n+1)=an et par conséquent f(a(n+1))=f(an) est bien <=k

idem pour bn

pour le c) récurrence encore

a1=a0 ou (a0+b0)/2 dc a1-a0=0 ou (a0+b0)/2-a0=(b0-a0)/2 et c'est >=0 car b>a par hypothèse

supposons an<=a(n+1)

a(n+1)=a(n) ou (an+bn)/2

la différence a(n+1)-an est dc 0 ou bien (an+bn)/2-an=(bn-an)/2 >=0 car on a démontré au a) que an<bn

dc croissance de la suite des an

idem pour la décroissance des bn

pour le d)

b(n+1)-a(n+1) est égal à

bn-(an+bn)/2 ou (an+bn)/2-an dc à (bn-an)/2 ds les 2 cas

b1-a1=(b0-a0)/2=(1/2)^1 * (b0-a0)

supposons que bn-an=(1/2)^n(b0-a0)

en utilisant ce qui a été trouvé avant:

b(n+1)-a(n+1)=(1/2)(bn-an)=(1/2)*(1/2)^n(b0-a0)=(1/2)^(n+1)*(b0-a0)

pour le e) on utilise ce que l'on a trouvé au dessus (voir définition de suites adjacentes)

2) f est continue

qd n td vers l'infini

an td vers L dc f(an) td vers f(L)

bn td vers L dc f(bn) td vers f(L)

on a montré au b) du 1 que f(an)<=k<=f(bn)

on en déduit que f(L)=k

il existe un nombre L entre a et b tel que f(L)=k

　

　

[Clm]

Merci j'ai réussis à faire grâce a tes données