Devoir Fonction Polynôme 1°S

[Anyssa]

Bonjour, j'ai un dm à faire mais je ne comprend pas grand chose, si vous pouviez m'aider...Exercice 1 :

Démontrer que le produit de quatre entiers naturels consécutifs augmenté de 1 est le carré d'un entier naturel.

a° Exprimer en fonction de n les trois entiers naturels suivants.

b° Développer le produit de ces quatre entiers naturels augmenté de 1.

c° On se propose de montrer qu'il existe un polynôme P tel que pour tout réel x, x^4+6x^3+11x²+6x+1 = [P(x)²]

Quel doit être le degré de P ?

Ecrire la forme générale d'un tel polynôme.

Déterminer alors un tel polynôme P.

d° Conclure.

Exercice 2 :

1° Déterminer le polynôme P de degré 3 tel que pour tout réel x, P(x+1)-P(x) = x² et P(1)=0.

2° Démontrer que pour tout entier n> ou = à 1,

1²+2²+....+n²=P(n+1à.

3° En déduire que : 1²+2²+...+n²= [n(n+1)(2n+1)]/6

4° En déduire la somme des carrés des

a) 10 premiers entiers supérieur ou égaux à 1

b) 100 premiers entiers supérieur ou égaux à 1.

Ce que j'ai réussi :

Exercice 1 :

a) Les 3 entiers sont : n+1 ;n+2 et n+3.

b) La forme développé est n^4+6n^3+11n²+6n+1

c)P doit etre de degré 2

La forme générale est ax²+bx+c

Ensuite déterminer le polynôme et conclure j'ai pas réussi.

Exercice 2 :

Rien réussit...

Merci.

[Barbidoux]

Exercice 1

a-----------------------------

n, (n+1), (n+2), (n+3)

b-----------------------------

n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1=n^4+6 n^3+11 n^2+6 n+1

c-----------------------------

P(x) doit être du second degré et p(x)=x^2+a*x+1 (terme en x^4 et cst=1) ==>

(x^2+a*x+1)^2=x^4+2 a x^3+a^2 x^2+2 x^2+2 a x+1 ==> a=3 ==> p(x)=x^2+3*x+1

d----------------------------

le produit de n*(n+1)*(n+2)*(n+3) augmenté de 1 est le carré de n^2+3*n+1

-----------------------

Exercice 2

1---------------------

L'expression générale de P(x) est

P(x) = a*x^3+b*x^2+c*x + d

P(1) = 0 ==> a+b+c+d=0

------------------

P(x) = a*x^3+b*x^2+c*x + d

P(x+1) = a*(x+1)^3+b*(x+1)^2+c*(x+1)+d

P(x+1) = a*x^3+3*a*x^2+3*a*x+a+b*x^2+2*b*x+b+c*x+c+d

P(x+1)-P(x) ==>

3a = 1

3a+2b=0

a+b+c = 0

a+b+c+d = 0

La résolution de ce système d'équation conduit à a = 1/3, b=-1/2 , c=1/6, d = 0

et : P(x) = (2*x^3 - 3*x^2 + x)/6

-----

2---------------------

P(n+1)-P(n)=n^2 ==>

P(2)-P(1) = 1^2

P(3)-P(2) = 2^2

P(4)-P(3) = 3^2

........................

P(n+1)-P(n)=n²

On effectue la somme de ce ces égalités membre à membre ==>

P(n+1)-P(1) = 1^2+2^2+3^2+........+n^2

et comme p(1)=0 ==> P(n+1)= 1^2+2^2+3^2+........+n^2

3-----------------------

p(n+1)=(2*n^3+3*n^2+n)/6=n*(2*n^2+3*n+1)/6

Le polynôme 2*n^2-3*n+1 admet pour racines n=-1/2 et n= -1 ==>2*n^2-3*n+1=(n+1)*(2*n+1) ==>p(n+1)=n*(2*n^2+3*n+1)/6=n*(n+1)*(2*n+1) /6

4-----------------------

Je te laisse terminer...

[Anyssa]

Merci beaucoup,

Je ne comprend dans l'exercice 2, comment tu trouve que 3a=1 et que 3a+2b = 0

[Barbidoux]

Merci beaucoup,

Je ne comprend dans l'exercice 2, comment tu trouve que 3a=1 et que 3a+2b = 0