Linéarisation

[menaoui]

bonjour, j'ai un exo à faire pour linéariser (cos x)^3 et (sin x)^3

je trouve (cos x)^3 = 0,25*cos(3x)+0,75*cos (x)

mais pour le sinus je vois pas trés bien, je commence par (sin x)^3=((e^(ix) - e^(-ix))/2i)^3=1/8*[(e^(3ix) - e^(-3ix) - 3*(e^(ix) - e^(-ix))] la fin je vois pas car je connais que:

cos x = (e^(ix)+e^(-ix))/2

sin x = (e^(ix) - e^(-ix))/2i

une autre formule est peut être indispensable?? merci

[Barbidoux]

bonjour, j'ai un exo à faire pour linéariser (cos x)^3 et (sin x)^3

je trouve (cos x)^3 = 0,25*cos(3x)+0,75*cos (x)

mais pour le sinus je vois pas trés bien, je commence par (sin x)^3=((e^(ix) - e^(-ix))/2i)^3=1/8*[(e^(3ix) - e^(-3ix) - 3*(e^(ix) - e^(-ix))] la fin je vois pas car je connais que:

cos x = (e^(ix)+e^(-ix))/2

sin x = (e^(ix) - e^(-ix))/2i

une autre formule est peut être indispensable?? merci

[menaoui]

merci mais même avec ça je vois pas, désolé

[Barbidoux]

Le plus simple est de poser :

cos(x)+i*sin(x)=exp(i*x)

de développer :

(cos(x)+i*sin(x))³=exp(i*x)³=exp(3*i*x)=cos(3*x)+i*sin(3*x)

cossup]3(x)[+3*i*cos²(x)*sin(x)-3*cos(x)*sin²(x)-i*sin(x)^3=cos(3*x)+i*sin(3*x)

et d'identifier les parties réelles

cos³(x)-3*cos(x)*sin²(x)=cos(3x) ==> cos³(x)-3*cos(x)*(1-cos²(x))=cos(3x) ==> cos³(x)=(cos(3x)+3*cos(x))/4

et imaginaires de l'expressions obtenue

3*cos²(x)sin(x)-sin³(x)=sin(3*x) ==> 3*sin(x)(1-sin²(x))-sin³(x)=sin(3*x) ==> 3*sin(x)-4*sin³(x)=sin(3*x) ==> sin³(x)=(3*sin(x)-sin(3*x))/4