Comportement D'une Suite Et Limite

[Tibo54]

Bonsoir,voici un exercice à faire pour samedi sur lequel je bloque encore et toujours...Je bloque complètement sur la 1ère question,puis sur la 2)b) et donc la 2)c)...Merci d'avance pour votre aide

On considère la fonction affine croissante f définie sur R par: f(x)=(1/2)x+1

1)Soit (Un) la suite définie par: U0(U indice 0)=2 et pour tt entier naturel n,Un+1(U indice n+1)=f(Un)--->Quel est le comportement de la suite (Un)?

2)Soit (Vn) la suite définie par:V0(v indice 0)=3 et pour tt entier naturel n,Vn+1(V indice n+1)=f(Vn)

a) Calculer les 3 premiers termes de la suite ---->V0=3 , V1=5/2 , V2=9/4 , V3=17/8

b)Démontrer que la suite (Vn) est minorée par 2 (je vois bien que les 3 premiers termes se rapprochent au fur et à mesure de 2 mais...je ne sais pas quoi faire)

c)En déduire que (Vn) est décroissante,puis convergente;préciser sa limite.

[elp]

Bonsoir,voici un exercice à faire pour samedi sur lequel je bloque encore et toujours...Je bloque complètement sur la 1ère question,puis sur la 2)b) et donc la 2)c)...Merci d'avance pour votre aide

On considère la fonction affine croissante f définie sur R par: f(x)=(1/2)x+1

1)Soit (Un) la suite définie par: U0(U indice 0)=2 et pour tt entier naturel n,Un+1(U indice n+1)=f(Un)--->Quel est le comportement de la suite (Un)?

U(0)=2

u(1)=2/2+1=1+1=2

si u(n)=2 alors u(n+1)=u(n)/2+1=2/2+1=2

par récurrence, on montre que la suite est constante, tous ses termes valent 2

2)Soit (Vn) la suite définie par:V0(v indice 0)=3 et pour tt entier naturel n,Vn+1(V indice n+1)=f(Vn)

a) Calculer les 3 premiers termes de la suite ---->V0=3 , V1=5/2 , V2=9/4 , V3=17/8

b)Démontrer que la suite (Vn) est minorée par 2 (je vois bien que les 3 premiers termes se rapprochent au fur et à mesure de 2 mais...je ne sais pas quoi faire)

v(0)=3 dc >2

supposons v(n)>2

on a alors v(n)/2>2/2 dc v(n)/2>1

puis v(n)/2+1 >1+1 dc v(n+1)>2

par récurrence on montre ainsi que pour tout entier n on a v(n)>2

c)En déduire que (Vn) est décroissante,puis convergente;préciser sa limite.

calculons v(n+1)-v(n)=

v(n)/2+1-v(n)=1-v(n)/2

on sait que v(n)>2 dc v(n)/2>1 et de ce fait:1-v(n)/2 est négatif

cela prouve que v est décroissante

v décroissante et minorée par 2 dc v est convergente

Soit l la limite

v(n+1)=f(v(n))

on a f(l)=l soit l/2+1=l dc 1=l-l/2

1=l/2 et l=2

la limite est dc 2

[Tibo54]

Encore une fois,merci beaucoup elp!