Limites

[cigale]

Bonsoir,

Pouvez vous me dire si mes démarches dans cet exercice sont correctes?

D'avance, je vous en remercie !

Soit m un nombre réel et f_m la fonction définie par f(x) = (x² + 2mx - 1)

On note C_m sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

1) Déterminer la limite de f_m en + et -

2) Démontrer que la droite D_m d'équation y = x + m est asymptote à C_m en +

3) Démontrer que la courbe C_m est symétrique par rapport à la droite d'équation : x = -m

Ce que j'ai fait :

QUESTION 1 :

lim x² = + quand x tend vers +

lim :sqrt:X = + quand X tend vers +

Donc lim f(x) = + quand x tend vers +

De même :

lim x² = + quand x tend vers -

lim :sqrt:X = + quand x tend vers -

QUESTION 2 :

Pour montrer que la droite d'équation y = ax + b (soit ici y = x + m) est asymptote à Cf, il suffit de montrer que lim f(x) - (ax+b) = 0 quand x tend vers +/- .

Ici comment faire pour étudier la limite de : (x² + 2mx - 1) - x -m ????

[pzorba75]

Bonsoir,

Pouvez vous me dire si mes démarches dans cet exercice sont correctes?

D'avance, je vous en remercie !

Soit m un nombre réel et f_m la fonction définie par f(x) = (x² + 2mx - 1)

On note C_m sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal.

1) Déterminer la limite de f_m en + et -

2) Démontrer que la droite D_m d'équation y = x + m est asymptote à C_m en +

3) Démontrer que la courbe C_m est symétrique par rapport à la droite d'équation : x = -m

1 : f_m(x) définie si x^2+2mx-1>=0 soit x à l'extérieur des racines de x^2+2mx-1 soit x<-m-sqrt(m^2+1) x>-m+sqrt(m^2+1)

La limite est celle du terme de + haut degré, soit sqrt(x^2)=x donc

lim en -infty=+infty et lim en + infty=+infty

2 : Soit l'étude lim en +infty de sqrt(x^2+2mx-1)-(x+m)=lim en +infty [sqrt(x^2+2mx-1)-(x+m)][sqrt(x^2+2mx-1)+(x+m)]/[sqrt(x^2+2mx-1)+(x+m)]

=[x^2+2mx-1-(x^2+m2+2mx)]/[sqrt(x^2+2mx-1)+(x+m)]=[1-m2]/[x(sqrt{1+2m/x^2-1/x^2})+x+m].

Les termes en 1/X et 1/x^2 tendent vers 0, il reste

lim en +infty=(1-m^2)/2x+m)=0+

La droite y=x+m est asymtote en +infty.

3 On calcule f(-m+a)=sqrt((-m+a)^2+2m(-m+a)-1)=sqrt(-m^2+a^2-1) et f(-m-a)=sqrt((-m-a)^2+2m(-m-a)-1)=sqrt(-m^2+a^2-1)

donc f(-m+a)=f(-m-a) ce qui caractérise la symétrie de C_m par rapport à l'axe x=-m.

A rédiger en vérifiant soigneusement.