Suites

[Estelle 17]

Coucou, pouvez vous m'aider

La suite (Un) est définie, pour tout entier naturel n par U0 = 1/2 et U n+1 = (8Un +3)/(Un +6)

Démontrer par récurrence que pour tout entier n>1 , on a 1<Un<3

Montrer que la suite (Un) est croissante.

Merci

[Estelle 17]

S'ils vous plait un peu d'aide Merci

[elp]

soit f(x)=(8x+3)/(x+6) avec x ds lR+

f'(x)=[8(x+6)-1*(8x+3)]/(x+6)²=45/(x+6)²

quantité tjs positive dc f est croissante

u(0)=1/2

u(1)=7/6.5=14/13 u(1) est dc compris entre 1 et 3

supposons que 1<u(n)<3

comme f est croisante:

f(1)<f(u(n))<f(3)

11/7<u(n+1)<27/9

dc bien compris entre 1 et 3

je te laisse finir le raisonnement par récurrence

u(1)>u(0)

supposons u(n)>u(n-1)

puisque f est croissante:

f(u(n))>f(u(n-1))

dc u(n+1)>u(n)

à toi de finir