Intersection D'un Plan Et D'une Droite (Dm)

[Kimi77]

Bonjour à tous, voici le sujet:

(O,vec(i),vec(j),vec(k)) étant un repère de l'espace, considérons la droite D de repère (A, vec(u)) et le plan P de repère (B, vec(v), vec(w)), A,B, vec(u), vec(v) et vec(w) ayant pour coordonnées respectives: (1,0,0);(0,0,1);(1,1,0);(0,1,1) et (2,0,0).

1. Soit C (3,2,0). Vérifiez que vec(AC) et vec(u) sont colinéaires. En déduire que C appartient à la droite D.

Soit M(x,y,z). Démontrez que M appartient à D si et seulement si il existe un réel "k" tel que:

(Système) {x=1+k

{y=k

{z=0

Le point D(-2,2,3) appartient-il à D?

2. Démontrez que vec(BD)=2vec(v)- vec(w). En déduire que D appartient au plan P. Soit M(x,y,z). Démontrez que M appartient à P si et seulement si il existe des réels "t" et "t'" tels que:

(Système) {x=2t'

{y=t

{z=1+t

Le point C appartient-il à P?

3. Démontrez qu'il n'existe pas de réels "a" et "b" tels que vec(u)= avec(v) + b vec(w).

Que peut-on en déduire pour les vecteurs (u),(v),(w)?

Que peut-on dire des positions relatives de P et D?

4. Démontrez que le point M(x,y,z) appartient à la fois à la droite D et au plan P si et seulement si on peut trouver des réels k,t,t' tels que:

(Système) {1+k=2t'

{ k=t

{ 0=1+t

Voilà ce que j'ai fais:

1. vec(AC) = (xc-xa; yc-ya;zc-za)=(3-1;2-0;0-0)=(2,2,0)

vec(u) = (1,1,0) et vzc (AC)=(2,2,0)

vec(AC)= 2 vec(u)

Donc vec(AC) et vec (u) sont colinéaires

D est de repère ( A, vec(u)). Si vec(AC) et vec(u) sont colinéaires alors C appartient à la droite D

Soit M(x,y,z): M appartient

M € à D si et seulement si les vecteurs (AM) et (u) sont colinéaires.

coordonées de vec(AM) = (x-1,y-0,z-0)= ( x-1,y,z)

vec(u)= (1,1,0)

L'égalité s'écrit {x-1=k*1

{y= k*1

{z= k*0

vec(AM)= kvec(u) {x=k+1

{y=k

{z=0

Pour que D appartienne à D il faut que ses coordonnées vérifie l'équation de D

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

Commençons par 1)

Définition utiles :

Vecteurs colinéaires vect(s) et vect(t) : il existe k dans R* tel que : vect(s)=k*vect(t)

Trois points (JKL) sont alignés ssi il existe k dans R* tel que : vect(JK) = k*vect(JL)

Avec ça, tu peux faire le 1).

BS

[Kimi77]

Bonjour a tous, j'ai tout trouvé mais je ne parvient pas à résoudre la question numéro 3 , si vous pouviez m'aider

Merci d'avance

[Boltzmann_Solver]

Bonjour à tous, voici le sujet:

(O,vec(i),vec(j),vec(k)) étant un repère de l'espace, considérons la droite D de repère (A, vec(u)) et le plan P de repère (B, vec(v), vec(w)), A,B, vec(u), vec(v) et vec(w) ayant pour coordonnées respectives: (1,0,0);(0,0,1);(1,1,0);(0,1,1) et (2,0,0).

1. Soit C (3,2,0). Vérifiez que vec(AC) et vec(u) sont colinéaires. En déduire que C appartient à la droite D.

Soit M(x,y,z). Démontrez que M appartient à D si et seulement si il existe un réel "k" tel que:

(Système) {x=1+k

{y=k

{z=0

Le point D(-2,2,3) appartient-il à D?

2. Démontrez que vec(BD)=2vec(v)- vec(w). En déduire que D appartient au plan P. Soit M(x,y,z). Démontrez que M appartient à P si et seulement si il existe des réels "t" et "t'" tels que:

(Système) {x=2t'

{y=t

{z=1+t

Le point C appartient-il à P?

3. Démontrez qu'il n'existe pas de réels "a" et "b" tels que vec(u)= avec(v) + b vec(w).

Que peut-on en déduire pour les vecteurs (u),(v),(w)?

Que peut-on dire des positions relatives de P et D?

4. Démontrez que le point M(x,y,z) appartient à la fois à la droite D et au plan P si et seulement si on peut trouver des réels k,t,t' tels que:

(Système) {1+k=2t'

{ k=t

{ 0=1+t

Voilà ce que j'ai fais:

1. vec(AC) = (xc-xa; yc-ya;zc-za)=(3-1;2-0;0-0)=(2,2,0)

vec(u) = (1,1,0) et vzc (AC)=(2,2,0)

vec(AC)= 2 vec(u)

Donc vec(AC) et vec (u) sont colinéaires

D est de repère ( A, vec(u)). Si vec(AC) et vec(u) sont colinéaires alors C appartient à la droite D

Soit M(x,y,z): M appartient

M € à D si et seulement si les vecteurs (AM) et (u) sont colinéaires.

coordonées de vec(AM) = (x-1,y-0,z-0)= ( x-1,y,z)

vec(u)= (1,1,0)

L'égalité s'écrit {x-1=k*1

{y= k*1

{z= k*0

vec(AM)= kvec(u) {x=k+1

{y=k

{z=0

Pour que D appartienne à D il faut que ses coordonnées vérifie l'équation de D